Ekuacionet eksponenciale dhe sistemet e tyre. Përmbledhje e mësimit "sistemi i ekuacioneve dhe pabarazive eksponenciale". Përkufizimi dhe vetitë e një funksioni eksponencial, një teknikë për zgjidhjen e ekuacioneve më të thjeshta eksponenciale
Në fazën e përgatitjes për testimin përfundimtar, nxënësit e shkollave të mesme duhet të përmirësojnë njohuritë e tyre mbi temën “Ekuacionet eksponenciale”. Përvoja e viteve të kaluara tregon se detyra të tilla shkaktojnë vështirësi të caktuara për nxënësit e shkollës. Prandaj, nxënësit e shkollave të mesme, pavarësisht nga niveli i tyre i përgatitjes, duhet të zotërojnë me kujdes teorinë, të mësojnë përmendësh formulat dhe të kuptojnë parimin e zgjidhjes së ekuacioneve të tilla. Pasi kanë mësuar të përballen me këtë lloj detyrash, të diplomuarit do të jenë në gjendje të llogarisin në rezultate të larta kur kalojnë provimin në matematikë.
Bëhuni gati për testimin e provimit bashkë me Shkollkovën!
Gjatë përsëritjes së materialeve të trajtuara, shumë nxënës përballen me problemin e gjetjes së formulave të nevojshme për zgjidhjen e ekuacioneve. Një tekst shkollor nuk është gjithmonë pranë dhe zgjedhja e informacionit të nevojshëm për një temë në internet kërkon shumë kohë.
Portali arsimor Shkolkovo fton studentët të përdorin bazën tonë të njohurive. Ne po zbatojmë një metodë krejtësisht të re të përgatitjes për testin përfundimtar. Duke studiuar në faqen tonë, do të jeni në gjendje të identifikoni boshllëqet në njohuri dhe t'i kushtoni vëmendje pikërisht atyre detyrave që shkaktojnë vështirësitë më të mëdha.
Mësuesit e “Shkolkovës” mblodhën, sistemuan dhe prezantuan gjithçka që ishte e nevojshme për realizim të suksesshëm PËRDORNI material në mënyrën më të thjeshtë dhe të arritshme.
Përkufizimet dhe formulat kryesore janë paraqitur në seksionin "Referenca teorike".
Për një asimilim më të mirë të materialit, ju rekomandojmë që të praktikoni detyrat. Shqyrtoni me kujdes shembujt e ekuacioneve eksponenciale me zgjidhje të paraqitura në këtë faqe në mënyrë që të kuptoni algoritmin e llogaritjes. Pas kësaj, vazhdoni me detyrat në seksionin "Katalogët". Mund të filloni me detyrat më të lehta ose të shkoni direkt në zgjidhjen e ekuacioneve komplekse eksponenciale me disa të panjohura ose . Baza e të dhënave të ushtrimeve në faqen tonë të internetit plotësohet dhe përditësohet vazhdimisht.
Ata shembuj me tregues që ju shkaktuan vështirësi mund të shtohen te "Të preferuarat". Kështu që ju mund t'i gjeni shpejt ato dhe të diskutoni zgjidhjen me mësuesin.
Për të kaluar me sukses provimin, studio çdo ditë në portalin Shkolkovo!
Seksionet: Matematika
Objektivat e mësimit:
Edukative: mësoni si të zgjidhni sistemet e ekuacioneve eksponenciale; të konsolidojë aftësitë e zgjidhjes së ekuacioneve të përfshira në këto sisteme
Edukative: kultivoni saktësinë.
Zhvillimi: për të zhvilluar një kulturë të të folurit me shkrim dhe me gojë.
Pajisjet: një kompjuter; projektor multimedial.
Gjatë orëve të mësimit
Koha e organizimit
Mësues. Sot do të vazhdojmë studimin tonë të kapitullit "Funksioni eksponencial". Tema e mësimit do të formulohet pak më vonë. Gjatë mësimit, ju do të plotësoni fletët e përgjigjeve që janë në tabelat tuaja ( cm. numri i aplikimit 1 ). Përgjigjet do të përmblidhen.
Përditësimi i njohurive.
Nxënësit u përgjigjen pyetjeve:
- Cili është funksioni eksponencial?
punë gojore. Punoni në rrëshqitjet 1 deri në 5.
- Çfarë është një ekuacion eksponencial?
- Cilat metoda të zgjidhjes dini?
Punë gojore në rrëshqitjet 6 deri në 10.
- Cila veti e një funksioni eksponencial përdoret për të zgjidhur një pabarazi eksponenciale?
Punë me gojë në rrëshqitjet 11 deri në 15.
Ushtrimi. Shkruani përgjigjet e këtyre pyetjeve në fletën e përgjigjeve nr. 1. ( cm. numri i aplikimit 1 ). (rrëshqitje nga 16 në 31)
Kontrollimi i detyrave të shtëpisë
.Ne kontrollojmë detyrat e shtëpisë në mënyrën e mëposhtme.
Zëvendësoni rrënjët e ekuacioneve me shkronjën përkatëse dhe merrni me mend fjalën.
Nxënësit shikojnë fletën e përgjigjeve numër 2 ( Shtojca 1) . Mësuesi demonstron rrëshqitjen numër 33
(Nxënësit emërtojnë fjalën (rrëshqitje nr. 34)).
- Cilat dukuri zhvillohen sipas ligjeve të këtij funksioni?
Studentët ftohen të zgjidhin detyra nga Provimi i Bashkuar i Shtetit B12 (rrëshqitja 35) dhe të shkruajnë zgjidhjen në formularin e përgjigjes nr. 3 ( Shtojca 1).
Gjatë kontrollit të detyrave të shtëpisë dhe zgjidhjes së detyrës B12, ne do të përsërisim metodat për zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale.
Nxënësit arrijnë në përfundimin se për të zgjidhur një ekuacion me dy ndryshore nevojitet një ekuacion tjetër.
Më pas formulohet tema e mësimit (rrëshqitje nr. 37).
Sistemi është i shkruar në fletore (rrëshqitje nr. 38).
Për të zgjidhur këtë sistem, ne përsërisim metodën e zëvendësimit (rrëshqitje nr. 39).
Metoda e mbledhjes përsëritet gjatë zgjidhjes së sistemit (rrëshqitja 38 deri në 39).
Konsolidimi parësor i materialit të studiuar
:Nxënësit zgjidhin në mënyrë të pavarur sistemet e ekuacioneve në formularët e përgjigjeve nr. 4 ( Shtojca 1 ), duke marrë këshilla individuale nga mësuesi.
Duke përmbledhur. Reflektimi.
Vazhdoni frazat.
- Sot në klasë bëra...
- Sot në klasë rregullova...
- Sot në klasë mësova...
- Sot në klasë mësova...
Në fund të orës së mësimit, nxënësit shkruajnë detyrat e shtëpisë dhe dorëzojnë fletët e përgjigjeve.
Detyre shtepie:
Nr 59 (madje) dhe nr 62 (madje).Letërsia
- Të gjitha detyrat e grupit USE 3000 detyra - Shtëpia botuese "Exam" Moskë, 2011. Redaktuar nga A.L. Semenova, I.V. Yashçenko.
- S.A. Shestakov, P.I. Zakharov USE 2010 problemi i matematikës C1 redaktuar nga A.L. Semenova, I.V. Shtëpia botuese Yashchenko Moskë "MTsNMO".
- Tutorial Algjebra dhe fillimet e analizës matematikore, klasa e 10-të Yu.M. Kolyagin Moskë "Iluminizmi", 2008.
Në këtë mësim, ne do të shqyrtojmë zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale më komplekse, duke kujtuar dispozitat kryesore teorike në lidhje me funksionin eksponencial.
1. Përkufizimi dhe vetitë e një funksioni eksponencial, një teknikë për zgjidhjen e ekuacioneve më të thjeshta eksponenciale
Kujtoni përkufizimin dhe vetitë kryesore të një funksioni eksponencial. Është në vetitë që bazohet zgjidhja e të gjitha ekuacioneve dhe pabarazive eksponenciale.
Funksioni eksponencialështë një funksion i formës , ku baza është shkalla dhe këtu x është një ndryshore e pavarur, një argument; y - ndryshore e varur, funksion.
Oriz. 1. Grafiku i funksionit eksponencial
Grafiku tregon një eksponent në rritje dhe në zbritje, duke ilustruar funksionin eksponencial në një bazë më të madhe se një dhe më të vogël se një, por më të madhe se zero, përkatësisht.
Të dy kthesat kalojnë nëpër pikën (0;1)
Vetitë e funksionit eksponencial:
Domeni: ;
Gama e vlerave: ;
Funksioni është monoton, rritet si , zvogëlohet si .
Një funksion monoton merr secilën nga vlerat e tij me një vlerë të vetme të argumentit.
Kur kur argumenti rritet nga minus në plus pafundësi, funksioni rritet nga zero, përfshirës, në plus pafundësi. Përkundrazi, kur argumenti rritet nga minus në plus pafundësi, funksioni zvogëlohet nga pafundësia në zero, përfshirëse.
2. Zgjidhja e ekuacioneve tipike eksponenciale
Kujtoni se si të zgjidhni ekuacionet më të thjeshta eksponenciale. Zgjidhja e tyre bazohet në monotoninë e funksionit eksponencial. Pothuajse të gjitha ekuacionet komplekse eksponenciale reduktohen në ekuacione të tilla.
Barazia e eksponentëve me baza të barabarta është për shkak të vetive të funksionit eksponencial, përkatësisht monotonisë së tij.
Metoda e zgjidhjes:
Barazoni bazat e shkallëve;
Barazoni eksponentë.
Le të kalojmë në ekuacione eksponenciale më komplekse, qëllimi ynë është të reduktojmë secilën prej tyre në më të thjeshtat.
Le të heqim qafe rrënjën në anën e majtë dhe të zvogëlojmë shkallët në të njëjtën bazë:
Për të reduktuar një ekuacion kompleks eksponencial në një të thjeshtë, shpesh përdoret një ndryshim i ndryshoreve.
Le të përdorim vetinë e shkallës:
Ne prezantojmë një zëvendësim. Le pastaj 
Ne e shumëzojmë ekuacionin që rezulton me dy dhe transferojmë të gjitha termat në anën e majtë:
Rrënja e parë nuk e plotëson intervalin e vlerave y, ne e hedhim poshtë. Ne marrim:
Le t'i sjellim shkallët në të njëjtin tregues:
Ne prezantojmë një zëvendësim:
Le pastaj 
. Me këtë zëvendësim, është e qartë se y merr vlera rreptësisht pozitive. Ne marrim:
Ne e dimë se si të zgjidhim ekuacione të ngjashme kuadratike, ne shkruajmë përgjigjen:
Për t'u siguruar që rrënjët janë gjetur saktë, mund të kontrolloni sipas teoremës Vieta, domethënë të gjeni shumën e rrënjëve dhe produktin e tyre dhe të kontrolloni me koeficientët përkatës të ekuacionit.
Ne marrim:
3. Teknika e zgjidhjes së ekuacioneve eksponenciale homogjene të shkallës së dytë
Le të studiojmë llojin e mëposhtëm të rëndësishëm të ekuacioneve eksponenciale:
Ekuacionet e këtij lloji quhen homogjene të shkallës së dytë në lidhje me funksionet f dhe g. Në anën e majtë të tij ka një trinom katror në lidhje me f me parametrin g ose një trinom katror në lidhje me g me parametrin f.
Metoda e zgjidhjes:
Ky ekuacion mund të zgjidhet si kuadratik, por është më e lehtë të bëhet anasjelltas. Duhet të merren parasysh dy raste:
Në rastin e parë, marrim
Në rastin e dytë, ne kemi të drejtë të pjesëtojmë me shkallën më të lartë dhe marrim:
Ju duhet të prezantoni një ndryshim të ndryshoreve, ne marrim një ekuacion kuadratik për y:
Vini re se funksionet f dhe g mund të jenë arbitrare, por ne jemi të interesuar në rastin kur këto janë funksione eksponenciale.
4. Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve homogjene
Le t'i zhvendosim të gjithë termat në anën e majtë të ekuacionit:
Meqenëse funksionet eksponenciale fitojnë vlera rreptësisht pozitive, ne kemi të drejtë të ndajmë menjëherë ekuacionin me , pa marrë parasysh rastin kur:
Ne marrim:
Ne prezantojmë një zëvendësim: 
(sipas vetive të funksionit eksponencial)
Ne kemi një ekuacion kuadratik:
Ne përcaktojmë rrënjët sipas teoremës Vieta:
Rrënja e parë nuk e plotëson intervalin e vlerave y, e hedhim poshtë, marrim:
Le të përdorim vetitë e shkallës dhe t'i reduktojmë të gjitha shkallët në baza të thjeshta:
Është e lehtë të vërehen funksionet f dhe g:
Mënyrat për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve
Për të filluar, le të kujtojmë shkurtimisht se cilat metoda të zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve ekzistojnë përgjithësisht.
ekzistojnë katër mënyra kryesore zgjidhjet e sistemeve të ekuacioneve:
Metoda e zëvendësimit: merrni cilindo nga këto ekuacione dhe shprehni $y$ në terma $x$, pastaj $y$ zëvendësohet në ekuacionin e sistemit, nga ku gjendet ndryshorja $x.$. Pas kësaj, ne mundemi lehtësisht llogarit variablin $y.$
Metoda e mbledhjes: në këtë metodë, është e nevojshme të shumëzoni një ose të dy ekuacionet me numra të tillë që kur të dy mblidhen së bashku, një nga variablat "zhduket".
Metoda grafike: të dy ekuacionet e sistemit shfaqen në planin koordinativ dhe gjendet pika e kryqëzimit të tyre.
Metoda e futjes së variablave të reja: në këtë metodë, ne bëjmë zëvendësimin e disa shprehjeve për të thjeshtuar sistemin dhe më pas aplikojmë një nga metodat e mësipërme.
Sistemet e ekuacioneve eksponenciale
Përkufizimi 1
Sistemet e ekuacioneve që përbëhen nga ekuacione eksponenciale quhen sistem ekuacionesh eksponenciale.
Ne do të shqyrtojmë zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve eksponenciale duke përdorur shembuj.
Shembulli 1
Zgjidh një sistem ekuacionesh
Foto 1.
Zgjidhje.
Ne do të përdorim metodën e parë për të zgjidhur këtë sistem. Së pari, le të shprehim $y$ në ekuacionin e parë në terma të $x$.
Figura 2.
Zëvendësoni $y$ në ekuacionin e dytë:
\ \ \[-2-x=2\] \ \
Përgjigje: $(-4,6)$.
Shembulli 2
Zgjidh një sistem ekuacionesh
Figura 3
Zgjidhje.
Ky sistem është i barabartë me sistemin
Figura 4
Zbatojmë metodën e katërt për zgjidhjen e ekuacioneve. Le të $2^x=u\ (u >0)$ dhe $3^y=v\ (v >0)$, marrim:
Figura 5
Ne e zgjidhim sistemin që rezulton me metodën e shtimit. Le të shtojmë ekuacionet:
\ \
Pastaj nga ekuacioni i dytë, marrim atë
Duke u kthyer në zëvendësim, mora një sistem të ri ekuacionesh eksponenciale:
Figura 6
Ne marrim:
Figura 7
Përgjigje: $(0,1)$.
Sistemet e pabarazive eksponenciale
Përkufizimi 2
Sistemet e pabarazive që përbëhen nga ekuacione eksponenciale quhen sistem pabarazish eksponenciale.
Ne do të shqyrtojmë zgjidhjen e sistemeve të pabarazive eksponenciale duke përdorur shembuj.
Shembulli 3
Zgjidh sistemin e pabarazive
Figura 8
Zgjidhja:
Ky sistem pabarazish është i barabartë me sistemin
Figura 9
Për të zgjidhur pabarazinë e parë, kujtoni teoremën e mëposhtme të ekuivalencës për pabarazitë eksponenciale:
Teorema 1. Pabarazia $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, ku $a >0,a\ne 1$ është ekuivalente me grupin e dy sistemeve
\}
