Paraqitje antiderivative dhe integrale. Prezantim për mësimin "Integrali i pacaktuar. Metodat e llogaritjes". Rritjet e pjesshme dhe derivatet e pjesshme

Antiderivativ. Problemi i njehsimit diferencial: duke dhënë një funksion të caktuar, gjeni derivatin e tij. Problemi i llogaritjes integrale: gjeni një funksion duke ditur derivatin e tij. Një funksion F(x) quhet antiderivativ për një funksion f(x) në një interval të caktuar nëse për çdo x nga ky interval barazia F ʹ (x)=f(x) është e vërtetë.

Teorema. Nëse një funksion F(x) është një antiderivativ për një funksion f(x) në një interval të caktuar, atëherë bashkësia e të gjithë antiderivave të këtij funksioni ka formën F(x)+C, ku C R. y x 0 Gjeometrikisht: F (x)+C është një kurbë familjare e marrë nga secila prej tyre me transferim paralel përgjatë boshtit të op-amp. C kurba integrale

Shembulli 2. Gjeni të gjitha funksionet antiderivative f(x)=2x dhe përshkruani ato gjeometrikisht. y x

Integrand - integrand - shenja e integralit të pacaktuar x - ndryshorja e integrimit F(x) + C - bashkësia e të gjithë antiderivativëve C - konstanta e integrimit Procesi i gjetjes së një funksioni antiderivativ quhet integrim, kurse dega e matematikës quhet llogaritje integrale. .

Vetitë e integralit të pacaktuar Diferenciali i integralit të pacaktuar është i barabartë me integrandin dhe derivati ​​i integralit të Pacaktuar është i barabartë me integrandin:

Metodat bazë të integrimit. Metoda e integrimit të drejtpërdrejtë. Integrimi i drejtpërdrejtë është një metodë e llogaritjes së integraleve në të cilën ato reduktohen në ato tabelare duke zbatuar në to vetitë themelore të integralit të pacaktuar. Në këtë rast, funksioni integrand zakonisht transformohet në përputhje me rrethanat.

Anoshina O.V.

Literatura kryesore

1. Shipachev V. S. Matematikë e lartë. Lënda bazë: tekst shkollor dhe
punëtori për beqarët [marka shtetërore e Ministrisë së Arsimit të Federatës Ruse] / V.S.
Shipaçev; e Redaktuar nga A. N. Tikhonova. - Botimi i 8-të, i rishikuar. dhe shtesë Moskë: Yurayt, 2015. - 447 f.
2. Shipachev V. S. Matematikë e lartë. Kursi i plotë: tekst shkollor
për akademik Diplomë Bachelor [Griff UMO] / V. S. Shipachev; e Redaktuar nga A.
N. Tikhonova. - Botimi i 4-të, rev. dhe shtesë - Moskë: Yurayt, 2015. - 608
Me
3. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T..Ya. Matematikë e lartë
në ushtrime dhe detyra. [Tekst] / P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya.
Kozhevnikova. Në ora 2 - M.: Shkolla e Lartë, 2007. - 304+415c.

Raportimi

1.
Test. Kryhet në përputhje me:
Detyrat dhe udhëzimet për përfundimin e testeve
në disiplinën "MATEMATIKA E APLIKUARA", Ekaterinburg, Institucioni Arsimor Autonom Shtetëror Federal
VO "Pedagogjia Profesionale Shtetërore Ruse
Universiteti”, 2016 - 30 f.
Zgjidhni opsionin e testimit me shifrën e fundit të numrit
libri i notave.
2.
Provimi

Integrali i pacaktuar, vetitë dhe llogaritja e tij Integral antiderivativ dhe i pacaktuar

Përkufizimi. Funksioni F x thirret
funksioni antiderivativ f x i përcaktuar më
ndonjë interval, nëse F x f x për
çdo x nga ky interval.
Për shembull, funksioni cos x është
antiderivativ i funksionit sin x, pasi
cos x mëkat x.

Natyrisht, nëse F x është një antiderivativ
funksioni f x, atëherë F x C, ku C është një konstante, është gjithashtu
antiderivativ i funksionit f x.
Nëse F x është ndonjë antiderivativ
funksionet f x, pastaj çdo funksion i formës
Ф x F x C është gjithashtu
funksioni antiderivativ f x dhe ndonjë
antiderivati ​​mund të paraqitet në këtë formë.

Përkufizimi. Tërësia e të gjithave
antiderivatet e funksionit f x,
të përcaktuara në disa
intervali quhet
integral i pacaktuar i
funksionet f x në këtë interval dhe
shënohet me f x dx.

Nëse F x është ndonjë antiderivativ i funksionit
f x , atëherë shkruajnë f x dx F x C , edhe pse
do të ishte më e saktë të shkruanim f x dx F x C.
Sipas traditës së vendosur, ne do të shkruajmë
f x dx F x C .
Kështu i njëjti simbol
f x dx do të shënojë të tërën
një grup antiderivativësh të funksionit f x,
dhe çdo element të këtij grupi.

Vetitë e integralit

Derivati ​​i integralit të pacaktuar është i barabartë me
funksioni integrand dhe shprehja e tij integrand diferenciale. Vërtet:
1.(f (x)dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x)dx (f (x)dx) dx f (x)dx.

Vetitë e integralit

3. Integrali i pacaktuar nga
diferencial vazhdimisht (x)
funksioni i diferencueshëm është i barabartë me vetveten
ky funksion deri në një konstante:
d (x) (x)dx (x) C,
meqenëse (x) është një antiderivativ i (x).

Vetitë e integralit

4.Nëse funksionet f1 x dhe f 2 x kanë
janë antiderivat, atëherë funksioni f1 x f 2 x
gjithashtu ka një antiderivativ, dhe
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx;
5. Kf x dx K f x dx;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .

1. dx x C .
a 1
x
2. xa dx
C, (a 1) .
a 1
dx
3. ln x C .
x
x
a
4.a x dx
C.
Në një
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8. 2 ctgx C .
mëkat x
dx
9. 2 tgx C.
cos x
dx
arctgx C.
10.
2
1 x

Tabela e integraleve të pacaktuar

11.
dx
harku x C.
1 x 2
dx
1
x
12. 2 2 arctg C .
a
a
një x
13.
14.
15.
dx
a2 x2
x
harku C..
a
dx
1
xa
ln
C
2
2
2a x a
xa
dx
1
një x
a 2 x 2 2a ln a x C .
dx
16.
x2 a
ln x x 2 a C .
17. shxdx chx C.
18. chxdx shx C.
19.
20.
dx
ch 2 x thx C .
dx
cthx C.
2
sh x

Vetitë e diferencialeve

I përshtatshëm për t'u përdorur kur integrohet
vetitë: 1
1. dx d (sëpatë)
a
1
2. dx d (sëpatë b),
a
1 2
3. xdx dx,
2
1 3
2
4. x dx dx.
3

Shembuj

Shembull. Llogaritni cos 5xdx.
Zgjidhje. Në tabelën e integraleve gjejmë
cos xdx sin x C.
Le ta transformojmë këtë integral në një tabelor,
duke përfituar nga fakti se d ax adx .
Pastaj:
d 5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5 x
5
5
1
= mëkat 5 x C .
5

Shembuj

Shembull. Llogaritni x
3 x 1 dx.
Zgjidhje. Meqenëse nën shenjën integrale
atëherë është shuma e katër termave
zgjeroni integralin në shumën e katër
integrale:
2
3
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx.
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2

Pavarësia e llojit të ndryshores

Gjatë llogaritjes së integraleve është i përshtatshëm
përdorni vetitë e mëposhtme
integrale:
Nëse f x dx F x C , atëherë
f x b dx F x b C .
Nëse f x dx F x C , atëherë
1
f ax b dx F ax b C .
a

Shembull

Le të llogarisim
1
6
2
3
x
dx
2
3
x
C
.
3 6
5

Metodat e integrimit Integrimi sipas pjesëve

Kjo metodë bazohet në formulën udv uv vdu.
Duke përdorur metodën e integrimit sipas pjesëve, merren integralet e mëposhtme:
a) x n sin xdx, ku n 1,2...k;
b) x n e x dx, ku n 1,2...k;
c) x n arctgxdx, ku n 0, 1, 2,... k. ;
d) x n ln xdx, ku n 0, 1, 2,... k.
Gjatë llogaritjes së integraleve a) dhe b) futni
n 1
shënim: x n u , pastaj du nx dx , dhe, për shembull
sin xdx dv, pastaj v cos x.
Gjatë llogaritjes së integraleve c), d), u shënohet me funksionin
arctgx, ln x, dhe për dv merrni x n dx.

Shembuj

Shembull. Llogaritni x cos xdx.
Zgjidhje.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

Shembuj

Shembull. Llogaritni
x ln xdx
dx
u ln x, du
x
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
në x
=
2
2 x
x2
1
x2
1 x 2
ln x xdx
në x
C.
=
2
2
2
2 2

Metoda e zëvendësimit të variablave

Le të jetë e nevojshme për të gjetur f x dx , dhe
zgjidhni drejtpërdrejt antiderivativin
për f x nuk mundemi, por e dimë këtë
ajo ekziston. Shpesh është e mundur të gjendet
antiderivativ duke futur një ndryshore të re,
sipas formulës
f x dx f t t dt , ku x t dhe t janë të reja
e ndryshueshme

Integrimi i funksioneve që përmbajnë një trinom kuadratik

Merrni parasysh integralin
sëpatë b
dx,
x px q
që përmban një trinom kuadratik në
emëruesi i integrandit
shprehjet. Një integral i tillë mund të merret edhe
me metodën e zëvendësimit të variablave,
pasi ka ndarë më parë në
emëruesi është një katror i përsosur.
2

Shembull

Llogaritni
dx
.
x 4x 5
Zgjidhje. Le të transformojmë x 2 4 x 5,
2
duke zgjedhur një katror të plotë duke përdorur formulën a b 2 a 2 2ab b 2.
Pastaj marrim:
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x 4x 5
t 1
arctgt C arctg x 2 C.

Shembull

Gjej
1 x
1 x
2
dx
tdt
1 t
2
x t, x t 2,
dx 2tdt
2
t2
1 t
2
dt
1 t
1 t
d(t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
ln(t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2 arctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt

Integrali i caktuar, vetitë themelore të tij. Formula Njuton-Leibniz. Zbatimet e një integrali të caktuar.

Të çon në konceptin e një integrali të caktuar
problemi i gjetjes së zonës së një lakor
trapezoide.
Le të jepet në një interval
funksioni i vazhdueshëm y f (x) 0
Detyra:
Ndërtoni grafikun e tij dhe gjeni F sipërfaqen e figurës,
të kufizuara nga kjo kurbë, dy drejtëza x = a dhe x
= b, dhe më poshtë - segmenti i boshtit të abshisës midis pikave
x = a dhe x = b.

Figura aABb quhet
trapezoid i lakuar

Përkufizimi

b
f(x)dx
Nën integralin e caktuar
a
nga një funksion i dhënë i vazhdueshëm f(x) në
kuptohet ky segment
shtimin përkatës të saj
antiderivativ, pra
F (b) F (a) F (x) /
b
a
Numrat a dhe b janë kufijtë e integrimit,
– intervali i integrimit.

Rregulli:

Integrali i caktuar është i barabartë me diferencën
vlerat e integrandit antiderivativ
funksionet për kufijtë e sipërm dhe të poshtëm
integrimin.
Duke futur shënimin për diferencën
b
F(b)F(a)F(x)/a
b
f (x)dx F (b) F (a)
a
Formula Njuton-Leibniz.

Vetitë themelore të një integrali të caktuar.

1) Vlera e integralit të caktuar nuk varet nga
shënimi për variablin e integrimit, d.m.th.
b
b
a
a
f (x)dx f (t)dt
ku x dhe t janë ndonjë shkronja.
2) Integrali i caktuar me identike
jashtë
integrimi është zero
a
f (x)dx F (a) F (a) 0
a

3) Kur riorganizoni kufijtë e integrimit
integrali i caktuar ndryshon shenjën e tij në të kundërt
b
a
f (x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x)dx
a
b
(vetia e aditivitetit)
4) Nëse intervali ndahet në një numër të fundëm
intervale të pjesshme, pastaj një integral i caktuar,
marrë përsipër intervalin, është e barabartë me shumën e disave
integralet e marra mbi të gjitha intervalet e tij të pjesshme.
b
c
b
f (x)dx f (x)dx
c
a
a
f(x)dx

5) Shumëzuesi konstant mund të rregullohet
për shenjën e integralit të caktuar.
6) Integrali i caktuar i algjebrikës
shumat e një numri të kufizuar të të vazhdueshmeve
funksionet është e barabartë me të njëjtën algjebrike
shuma e integraleve të përcaktuara të këtyre
funksione.

3. Ndryshimi i ndryshores në një integral të caktuar.

3. Zëvendësimi i një ndryshoreje në një të caktuar
integrale.
b
f (x)dx f (t) (t)dt
a
a (), b (), (t)
Ku
për t [; ] , funksionet (t) dhe (t) janë të vazhdueshme në;
5
Shembull:
1
=
x 1dx
=
x 1 5
t 0 4
x 1 t
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3

Integrale të pahijshme.

Integrale të pahijshme.
Përkufizimi. Le të përcaktohet funksioni f(x).
interval i pafund, ku b< + . Если
ekziston
b
lim
f(x)dx,
b
a
atëherë ky kufi quhet i papërshtatshëm
integrali i funksionit f(x) në interval
}