Mecanica tehnica. Note de curs. Curs de prelegeri mecanică tehnică Scurtă teorie despre mecanica teoretică

Prelegeri de mecanică teoretică

Dinamica punctului

Cursul 1

Concepte de bază ale dinamicii

În capitolul Dinamica se studiază mişcarea corpurilor sub acţiunea forţelor aplicate acestora. Prin urmare, pe lângă acele concepte care au fost introduse în secțiune Cinematică, aici este necesar să se utilizeze concepte noi care reflectă specificul impactului forțelor asupra diferitelor corpuri și răspunsul corpurilor la aceste impacturi. Să luăm în considerare principalele concepte.

a) puterea

Forța este rezultatul cantitativ al impactului asupra unui anumit corp de către alte corpuri. Forța este o mărime vectorială (Fig. 1).

Punctul A de la începutul vectorului forță F numit punctul de aplicare a forței. Linia MN pe care se află vectorul forță se numește linie de forţă. Lungimea vectorului forță, măsurată la o anumită scară, se numește valoarea numerică sau modulul vectorului forță. Modulul de forță este notat cu sau . Acțiunea unei forțe asupra unui corp se manifestă fie prin deformarea acestuia, dacă corpul este staționar, fie prin conferirea lui de accelerație atunci când corpul se mișcă. Pe aceste manifestări de forță se bazează dispozitivul diverselor instrumente (contoare de forță sau dinamometre) pentru măsurarea forțelor.

b) sistemul de forţe

Se formează setul de forțe considerat sistem de forță. Orice sistem format din n forțe poate fi scris sub următoarea formă:

c) corp liber

Un corp care se poate mișca în spațiu în orice direcție fără a experimenta interacțiune directă (mecanică) cu alte corpuri se numește gratuit sau izolat. Influența unuia sau altui sistem de forțe asupra unui corp poate fi clarificată numai dacă acest corp este liber.

d) forţa rezultantă

Dacă orice forță are asupra unui corp liber același efect ca un sistem de forțe, atunci această forță se numește rezultanta acestui sistem de forte. Aceasta este scrisă după cum urmează:

,

care înseamnă echivalenţă impactul asupra aceluiași corp liber al rezultantei și al unui sistem de n forțe.

Să trecem acum la considerarea unor concepte mai complexe legate de determinarea cantitativă a efectelor de rotație ale forțelor.

e) moment de forță relativ la un punct (centru)

Dacă corpul sub acțiunea unei forțe se poate roti în jurul unui punct fix O (Fig. 2), atunci pentru a cuantifica acest efect de rotație se introduce o mărime fizică, care se numește moment de forță în jurul unui punct (centru).

Se numește planul care trece printr-un punct fix dat și linia de acțiune a forței planul forței. În Fig. 2, acesta este planul ОАВ.

Momentul forței relativ la un punct (centru) este o mărime vectorială egală cu produsul vectorial al vectorului rază al punctului de aplicare a forței de către vectorul forță:

( 1)

Conform regulii înmulțirii vectoriale a doi vectori, produsul lor vectorial este un vector perpendicular pe planul de localizare al vectorilor factor (în acest caz, planul triunghiului OAB), îndreptat în direcția de la care se trage cea mai scurtă tură a de la primul factor vector la al doilea factor de vector vizibil contra cronometru (Fig. 2). Cu această ordine a vectorilor factorilor produsului încrucișat (1), rotația corpului sub acțiunea forței va fi vizibilă împotriva cronometrului (Fig. 2).Deoarece vectorul este perpendicular pe planul forta, amplasarea ei in spatiu determina pozitia planului fortei.Valoarea numerica a vectorului momentului fortei fata de centru este egala cu dublul aria ОАВ si poate fi determinata prin formula:

, (2)

Unde magnitudineah, egală cu cea mai scurtă distanță de la un punct dat O până la linia de acțiune a forței, se numește brațul forței.

Dacă poziția planului de acțiune al forței în spațiu nu este esențială pentru caracterizarea acțiunii de rotație a forței, atunci în acest caz, pentru a caracteriza acțiunea de rotație a forței, în locul vectorului momentului forței, moment algebric al forței:

(3)

Momentul algebric al forței relativ la un centru dat este egal cu produsul dintre modulul de forță și umărul acestuia, luat cu semnul plus sau minus. În acest caz, un moment pozitiv corespunde rotației corpului sub acțiunea unei forțe date împotriva ceasului, iar un moment negativ corespunde rotației corpului în direcția ceasului. Din formulele (1), (2) și (3) rezultă că momentul fortei relativ la un punct este egal cu zero numai daca bratul acestei fortehzero. O astfel de forță nu poate roti corpul în jurul unui punct dat.

f) Momentul de forță în jurul axei

Dacă un corp sub acțiunea unei forțe se poate roti în jurul unei axe fixe (de exemplu, rotația unei uși sau a unui toc de fereastră în balamale atunci când sunt deschise sau închise), atunci se introduce o mărime fizică pentru a cuantifica acest efect de rotație, care se numește moment de forță în jurul unei axe date.

z

 b Fxy

Figura 3 prezintă o diagramă în conformitate cu care se determină momentul forței în jurul axei z:

Unghiul  este format din două direcții perpendiculare z și pe planurile triunghiurilor O abși, respectiv, OAV. Din moment ce  O ab este proiecția lui ОАВ pe planul xy, apoi conform teoremei de stereometrie privind proiecția unei figuri plate pe un plan dat, avem:

unde semnul plus corespunde unei valori pozitive a cos, adică unghiurilor acute , iar semnul minus corespunde unei valori negative a cos, adică unghiurilor obtuze , datorită direcției vectorului . La rândul său, SO ab=1/2abh, Unde h  ab . Valoarea segmentului ab este egală cu proiecția forței pe planul xy, adică . ab = F X y .

Pe baza celor de mai sus, precum și a egalităților (4) și (5), determinăm momentul forței în jurul axei z, după cum urmează:

Egalitatea (6) ne permite să formulăm următoarea definiție a momentului forței în jurul oricărei axe: Momentul forței în jurul unei axe date este egal cu proiecția pe această axă a vectorului momentului acestei forțe față de orice punct al forței. o axă dată și este definită ca produsul proiecției forței pe un plan perpendicular pe axa dată, luat cu un semn plus sau minus pe umărul acestei proiecții în raport cu punctul de intersecție al axei cu planul de proiecție. În acest caz, semnul momentului este considerat pozitiv dacă, privind din direcția pozitivă a axei, rotația corpului în jurul acestei axe este vizibilă contra cronometru. În caz contrar, momentul forței în jurul axei este considerat negativ. Deoarece această definiție a momentului de forță în raport cu axa este destul de greu de reținut, se recomandă să ne amintim formula (6) și Fig. 3, care explică această formulă.

Din formula (6) rezultă că momentul de forță în jurul axei este zero dacă este paralelă cu axa (în acest caz, proiecția sa pe un plan perpendicular pe axa este egală cu zero), sau linia de acțiune a forței intersectează axa (atunci brațul de proiecție h=0). Aceasta corespunde pe deplin sensului fizic al momentului de forță în jurul axei ca caracteristică cantitativă a acțiunii de rotație a forței asupra unui corp cu axă de rotație.

g) greutatea corporală

S-a remarcat de mult timp că sub influența unei forțe, corpul crește treptat viteză și continuă să se miște dacă forța este îndepărtată. Această proprietate a corpurilor de a rezista la schimbarea mișcării lor a fost numită inerţia sau inerţia corpurilor. Măsura cantitativă a inerției unui corp este masa acestuia. In afara de asta, masa corporală este o măsură cantitativă a efectului forțelor gravitaționale asupra unui corp dat cu cât masa corpului este mai mare, cu atât forța gravitațională acționează asupra corpului. După cum se va arăta mai jos, uh Aceste două definiții ale greutății corporale sunt legate.

Alte concepte și definiții ale dinamicii vor fi discutate mai târziu în secțiunile în care apar pentru prima dată.

2. Legături și reacții ale legăturilor

Mai devreme în secțiunea 1 punctul (c) a fost dat conceptul de corp liber, ca un corp care se poate mișca în spațiu în orice direcție fără a fi în contact direct cu alte corpuri. Majoritatea corpurilor reale care ne înconjoară sunt în contact direct cu alte corpuri și nu se pot mișca într-o direcție sau alta. Deci, de exemplu, corpurile situate pe suprafața mesei se pot deplasa în orice direcție, cu excepția direcției perpendiculare pe suprafața mesei în jos. Ușile cu balamale se pot roti, dar nu se pot deplasa înainte etc. Corpurile care nu se pot mișca în spațiu într-o direcție sau alta se numesc nu este gratis.

Tot ceea ce limitează mișcarea unui anumit corp în spațiu se numește legături. Acestea pot fi alte corpuri care împiedică mișcarea acestui corp în anumite direcții ( conexiuni fizice); mai larg, pot fi niste conditii impuse miscarii corpului, limitand aceasta miscare. Deci, puteți seta o condiție pentru ca mișcarea unui punct material să aibă loc de-a lungul unei curbe date. În acest caz, conexiunea este specificată matematic sub forma unei ecuații ( ecuația conexiunii). Problema tipurilor de link-uri va fi analizată mai detaliat mai jos.

Majoritatea legăturilor impuse corpurilor sunt practic legături fizice. Prin urmare, se pune întrebarea despre interacțiunea unui corp dat și legătura impusă acestui corp. La această întrebare răspunde axioma despre interacțiunea corpurilor: Două corpuri acționează unul asupra celuilalt cu forțe egale ca mărime, opuse ca direcție și situate pe aceeași linie dreaptă. Aceste forțe se numesc forțe de interacțiune. Forțele de interacțiune sunt aplicate diferitelor corpuri care interacționează. Deci, de exemplu, în timpul interacțiunii unui corp dat și a unei conexiuni, una dintre forțele de interacțiune este aplicată de pe partea laterală a corpului la conexiune, iar cealaltă forță de interacțiune este aplicată din partea conexiunii la corpul dat. . Această ultimă putere se numește forța de reacție a legăturii sau pur si simplu, reacția de conectare.

Când rezolvați probleme practice de dinamică, este necesar să puteți găsi direcția reacțiilor diferitelor tipuri de legături. Regula generală pentru determinarea direcției unei reacții de legătură poate ajuta uneori în acest sens: reacția unei legături este întotdeauna îndreptată opus direcției în care această legătură împiedică mișcarea unui corp dat. Dacă această direcție poate fi specificată cu siguranță, atunci reacția conexiunii va fi determinată de direcție. În caz contrar, direcția reacției de legătură este nedefinită și poate fi găsită numai din ecuațiile corespunzătoare de mișcare sau de echilibru ale corpului. Mai detaliat, problema tipurilor de legături și direcția reacțiilor acestora ar trebui studiată conform manualului: S.M. Targ Un scurt curs de mecanică teoretică „Școala superioară”, M., 1986. Cap.1, §3.

În secțiunea 1, litera (c), s-a spus că efectul oricărui sistem de forțe poate fi pe deplin determinat numai dacă acest sistem de forțe este aplicat unui corp liber. Deoarece majoritatea corpurilor nu sunt, de fapt, libere, atunci, pentru a studia mișcarea acestor corpuri, se pune întrebarea cum să facem aceste corpuri libere. Se răspunde la această întrebare axioma conexiunilor de prelegeri De filozofie acasă. Prelegeri au fost... Psihologie socialași etnopsihologie. 3. Teoretic rezultatele în darwinismul social au fost...

teoretic Mecanica

Tutorial >> Fizica

Abstract prelegeri De subiect TEORETIC MECANICA Pentru studenții specialității: 260501,65 ... - full-time Rezumat prelegeriîntocmit pe baza: Butorin L.V., Busygina E.B. teoretic Mecanica. Ghid educațional și practic...

Mecanica teoretică- Aceasta este o ramură a mecanicii, care stabilește legile de bază ale mișcării mecanice și ale interacțiunii mecanice a corpurilor materiale.

Mecanica teoretică este o știință în care se studiază mișcările corpurilor în timp (mișcări mecanice). Acesta servește drept bază pentru alte secțiuni ale mecanicii (teoria elasticității, rezistența materialelor, teoria plasticității, teoria mecanismelor și mașinilor, hidroaerodinamică) și a multor discipline tehnice.

mișcare mecanică- aceasta este o schimbare în timp a poziţiei relative în spaţiu a corpurilor materiale.

Interacțiune mecanică- aceasta este o astfel de interacțiune, în urma căreia se schimbă mișcarea mecanică sau se schimbă poziția relativă a părților corpului.

Statica corpului rigid

Statică- Aceasta este o ramură a mecanicii teoretice, care se ocupă de problemele echilibrului corpurilor solide și de transformarea unui sistem de forțe în altul, echivalent cu acesta.

Concepte de bază și legi ale staticii
• Corp absolut rigid(corp solid, corp) este un corp material, distanța dintre orice puncte în care nu se modifică.
• Punct material este un corp ale cărui dimensiuni, în funcție de condițiile problemei, pot fi neglijate.
• corp liber este un corp, asupra căruia nu se impun restricții.
• Corp neliber (legat). este un corp a cărui mișcare este restricționată.
• Conexiuni- acestea sunt corpuri care impiedica miscarea obiectului luat in considerare (un corp sau un sistem de corpuri).
• Reacția de comunicare este o forță care caracterizează acțiunea unei legături asupra unui corp rigid. Dacă considerăm ca o acțiune forța cu care un corp rigid acționează asupra unei legături, atunci reacția legăturii este o contraacțiune. În acest caz, forța - acțiune se aplică conexiunii, iar reacția conexiunii este aplicată corpului solid.
• sistem mecanic este un set de corpuri sau puncte materiale interconectate.
• Solid poate fi considerat ca un sistem mecanic, ale cărui poziții și distanța dintre punctele nu se modifică.
• Forta este o mărime vectorială care caracterizează acțiunea mecanică a unui corp material asupra altuia.
  Forța ca vector este caracterizată de punctul de aplicare, direcția de acțiune și valoarea absolută. Unitatea de măsură pentru modulul de forță este Newton.
• linie de forţă este linia dreaptă de-a lungul căreia este îndreptat vectorul forță.
• Putere concentrată este forța aplicată într-un punct.
• Forțe distribuite (sarcină distribuită)- acestea sunt forte care actioneaza in toate punctele volumului, suprafetei sau lungimii corpului.
  Sarcina distribuită este dată de forța care acționează pe unitatea de volum (suprafață, lungime).
  Dimensiunea sarcinii distribuite este N / m 3 (N / m 2, N / m).
• Forta externa este o forță care acționează dintr-un corp care nu aparține sistemului mecanic considerat.
• Forta interioara este o forță care acționează asupra unui punct material al unui sistem mecanic dintr-un alt punct material aparținând sistemului în cauză.
• Sistemul de forță este totalitatea forțelor care acționează asupra unui sistem mecanic.
• Sistem plat de forțe este un sistem de forțe ale căror linii de acțiune se află în același plan.
• Sistemul spațial de forțe este un sistem de forțe ale căror linii de acțiune nu se află în același plan.
• Sistemul de forțe convergente este un sistem de forțe ale căror linii de acțiune se intersectează într-un punct.
• Sistem arbitrar de forțe este un sistem de forțe ale căror linii de acțiune nu se intersectează într-un punct.
• Sisteme echivalente de forțe- acestea sunt sisteme de forțe, a căror înlocuire una cu alta nu schimbă starea mecanică a corpului.
  Denumirea acceptată: .
• Echilibru O stare în care un corp rămâne staționar sau se mișcă uniform în linie dreaptă sub acțiunea forțelor.
• Sistem echilibrat de forțe- acesta este un sistem de forțe care, atunci când este aplicat unui corp solid liber, nu își schimbă starea mecanică (nu îl dezechilibrează).
  .
• forță rezultantă este o forță a cărei acțiune asupra unui corp este echivalentă cu acțiunea unui sistem de forțe.
  .
• Moment de putere este o valoare care caracterizează capacitatea de rotație a forței.
• Cuplu de putere este un sistem de două forțe paralele egale în valoare absolută direcționate opus.
  Denumirea acceptată: .
  Sub acțiunea câtorva forțe, corpul va efectua o mișcare de rotație.
• Proiecția forței pe axă- acesta este un segment închis între perpendiculare desenate de la începutul și sfârșitul vectorului forță către această axă.
  Proiecția este pozitivă dacă direcția segmentului coincide cu direcția pozitivă a axei.
• Proiecția forței pe un plan este un vector pe un plan cuprins între perpendicularele trasate de la începutul și sfârșitul vectorului forță către acest plan.
• Legea 1 (legea inerției). Un punct material izolat este în repaus sau se mișcă uniform și rectiliniu.
  Mișcarea uniformă și rectilinie a unui punct material este o mișcare prin inerție. Starea de echilibru a unui punct material și a unui corp rigid este înțeleasă nu numai ca stare de repaus, ci și ca o mișcare prin inerție. Pentru un corp rigid, există diferite tipuri de mișcare de inerție, de exemplu, rotația uniformă a unui corp rigid în jurul unei axe fixe.
• Legea 2. Un corp rigid este în echilibru sub acțiunea a două forțe numai dacă aceste forțe sunt egale ca mărime și sunt direcționate în direcții opuse de-a lungul unei linii comune de acțiune.
  Aceste două forțe se numesc echilibrate.
  În general, se spune că forțele sunt echilibrate dacă corpul rigid căruia i se aplică aceste forțe este în repaus.
• Legea 3. Fără a încălca starea (cuvântul „stare” aici înseamnă starea de mișcare sau de repaus) a unui corp rigid, se pot adăuga și elimina forțele de echilibrare.
  Consecinţă. Fără a perturba starea unui corp rigid, forța poate fi transferată de-a lungul liniei sale de acțiune în orice punct al corpului.
  Două sisteme de forțe sunt numite echivalente dacă unul dintre ele poate fi înlocuit cu altul fără a perturba starea corpului rigid.
• Legea 4. Rezultanta a două forțe aplicate într-un punct este aplicată în același punct, este egală în valoare absolută cu diagonala paralelogramului construit pe aceste forțe și este îndreptată de-a lungul acestui
  diagonalele.
  Modulul rezultantei este:
  
• Legea 5 (legea egalității de acțiune și reacție). Forțele cu care două corpuri acționează unul asupra celuilalt sunt egale ca mărime și sunt direcționate în direcții opuse de-a lungul unei linii drepte.
  Trebuie avut în vedere faptul că acțiune- forta aplicata corpului B, Și opoziţie- forta aplicata corpului A, nu sunt echilibrate, deoarece sunt atașate de corpuri diferite.
• Legea 6 (legea întăririi). Echilibrul unui corp nesolid nu este perturbat atunci când acesta se solidifică.
  Nu trebuie uitat că condițiile de echilibru, care sunt necesare și suficiente pentru un corp rigid, sunt necesare, dar insuficiente pentru corpul nerigid corespunzător.
• Legea 7 (legea eliberării de obligațiuni). Un corp solid neliber poate fi considerat liber dacă este eliberat mental de legături, înlocuind acțiunea legăturilor cu reacțiile corespunzătoare ale legăturilor.

Conexiunile și reacțiile lor
• Suprafață netedă restricționează mișcarea de-a lungul normalului la suprafața de sprijin. Reacția este direcționată perpendicular pe suprafață.
• Suport mobil articulat limitează mișcarea corpului de-a lungul normalului la planul de referință. Reacția este direcționată de-a lungul normalei la suprafața suport.
• Suport fix articulat contracarează orice mișcare într-un plan perpendicular pe axa de rotație.
• Lansetă articulată fără greutate contracarează mișcarea corpului de-a lungul liniei tijei. Reacția va fi direcționată de-a lungul liniei tijei.
• Terminare oarbă contracarează orice mișcare și rotație în plan. Actiunea sa poate fi inlocuita cu o forta prezentata sub forma a doua componente si o pereche de forte cu un moment.

Cinematică

Cinematică- o secțiune de mecanică teoretică, care are în vedere proprietățile geometrice generale ale mișcării mecanice, ca proces care se desfășoară în spațiu și timp. Obiectele în mișcare sunt considerate puncte geometrice sau corpuri geometrice.

Concepte de bază ale cinematicii
• Legea mișcării unui punct (corp) este dependența de timp a poziției unui punct (corp) în spațiu.
• Traiectoria punctului este locul pozițiilor unui punct din spațiu în timpul mișcării sale.
• Viteza punctului (corpului).- aceasta este o caracteristică a schimbării în timp a poziției unui punct (corp) în spațiu.
• Accelerație punct (corp).- aceasta este o caracteristică a schimbării în timp a vitezei unui punct (corp).

Determinarea caracteristicilor cinematice ale unui punct
• Traiectoria punctului
  În sistemul de referință vectorială, traiectoria este descrisă prin expresia: .
  În sistemul de referință de coordonate, traiectoria este determinată conform legii mișcării punctului și este descrisă de expresiile z = f(x,y)în spațiu, sau y = f(x)- in avion.
  Într-un sistem de referință natural, traiectoria este predeterminată.
• Determinarea vitezei unui punct dintr-un sistem de coordonate vectoriale
  Când se specifică mișcarea unui punct într-un sistem de coordonate vectoriale, raportul dintre mișcare și intervalul de timp se numește valoarea medie a vitezei în acest interval de timp: .
  Luând intervalul de timp ca valoare infinitezimală, obținem valoarea vitezei la un moment dat (valoarea vitezei instantanee): .
  Vectorul viteză medie este direcționat de-a lungul vectorului în direcția mișcării punctului, vectorul viteză instantanee este direcționat tangențial la traiectoria în direcția mișcării punctului.
  Concluzie: viteza unui punct este o mărime vectorială egală cu derivata legii mișcării în raport cu timpul.
  Proprietate derivată: derivata în timp a oricărei valori determină rata de modificare a acestei valori.
• Determinarea vitezei unui punct într-un sistem de referință de coordonate
  Rata de modificare a coordonatelor punctului:
  .
  Modulul vitezei maxime a unui punct cu un sistem de coordonate dreptunghiular va fi egal cu:
  .
  Direcția vectorului viteză este determinată de cosinusurile unghiurilor de virare:
  ,
  unde sunt unghiurile dintre vectorul viteză și axele de coordonate.
• Determinarea vitezei unui punct dintr-un sistem de referință natural
  Viteza unui punct dintr-un sistem de referință natural este definită ca o derivată a legii de mișcare a unui punct: .
  Conform concluziilor anterioare, vectorul viteză este direcționat tangențial la traiectorie în direcția mișcării punctului, iar pe axe este determinat de o singură proiecție.

Cinematica corpului rigid
• În cinematica corpurilor rigide se rezolvă două probleme principale:
  1) sarcina de mișcare și determinarea caracteristicilor cinematice ale corpului în ansamblu;
  2) determinarea caracteristicilor cinematice ale punctelor corpului.
• Mișcarea de translație a unui corp rigid
  Mișcarea de translație este o mișcare în care o linie dreaptă trasată prin două puncte ale corpului rămâne paralelă cu poziția inițială.
  Teorema: în mișcare de translație, toate punctele corpului se mișcă pe aceleași traiectorii și în fiecare moment au aceeași viteză și accelerație în valoare și direcție absolută.
  Concluzie: mișcarea de translație a unui corp rigid este determinată de mișcarea oricăruia dintre punctele sale și, prin urmare, sarcina și studiul mișcării sale sunt reduse la cinematica unui punct.
• Mișcarea de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe
  Mișcarea de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe este mișcarea unui corp rigid în care două puncte aparținând corpului rămân nemișcate pe toată durata mișcării.
  Poziția corpului este determinată de unghiul de rotație. Unitatea de măsură pentru un unghi este radianii. (Un radian este unghiul central al unui cerc a cărui lungime a arcului este egală cu raza, unghiul complet al cercului conține 2π radian.)
  Legea mișcării de rotație a unui corp în jurul unei axe fixe.
  Viteza unghiulară și accelerația unghiulară a corpului vor fi determinate prin metoda de diferențiere:
  — viteza unghiulară, rad/s;
  — accelerație unghiulară, rad/s².
  Dacă tăiem corpul cu un plan perpendicular pe axă, alegeți un punct pe axa de rotație CUși un punct arbitrar M, apoi punctul M va descrie în jurul punctului CU cerc cu raza R. Pe parcursul dt există o rotație elementară prin unghiul , în timp ce punctul M se va deplasa de-a lungul traiectoriei pe o distanţă .
  Modul de viteză liniară:
  .
  accelerație punctuală M cu o traiectorie cunoscută este determinată de componentele sale:
  ,
  Unde .
  Ca rezultat, obținem formule
  accelerație tangențială: ;
  acceleratie normala: .

Dinamica

Dinamica- Aceasta este o ramură a mecanicii teoretice, care studiază mișcările mecanice ale corpurilor materiale, în funcție de cauzele care le provoacă.

Concepte de bază ale dinamicii
• inerţie- aceasta este proprietatea corpurilor materiale de a menține o stare de repaus sau o mișcare rectilinie uniformă până când forțele externe schimbă această stare.
• Greutate este o măsură cantitativă a inerției unui corp. Unitatea de masă este kilogramul (kg).
• Punct material este un corp cu o masă ale cărui dimensiuni sunt neglijate în rezolvarea acestei probleme.
• Centrul de masă al unui sistem mecanic este un punct geometric ale cărui coordonate sunt determinate de formulele:
  
  Unde m k , x k , y k , z k- masa si coordonatele k- acel punct al sistemului mecanic, m este masa sistemului.
  Într-un câmp uniform de greutate, poziția centrului de masă coincide cu poziția centrului de greutate.
• Momentul de inerție al unui corp material în jurul axei este o măsură cantitativă a inerției în timpul mișcării de rotație.
  Momentul de inerție al unui punct material în jurul axei este egal cu produsul dintre masa punctului și pătratul distanței punctului față de axă:
  .
  Momentul de inerție al sistemului (corpului) în jurul axei este egal cu suma aritmetică a momentelor de inerție ale tuturor punctelor:
  
• Forța de inerție a unui punct material este o mărime vectorială egală în valoare absolută cu produsul dintre masa unui punct și modulul de accelerație și direcționată opus vectorului accelerație:
• Forța de inerție a unui corp material este o mărime vectorială egală în valoare absolută cu produsul dintre masa corporală și modulul de accelerație al centrului de masă al corpului și direcționată opus vectorului de accelerație al centrului de masă: ,
  unde este accelerația centrului de masă al corpului.
• Impulsul de forță elementară este o mărime vectorială egală cu produsul vectorului forță cu un interval de timp infinitezimal dt:
  .
  Impulsul total al forței pentru Δt este egal cu integrala impulsurilor elementare:
  .
• Munca elementară de forță este un scalar dA, egal cu scalarul

Ca parte a oricărui curriculum, studiul fizicii începe cu mecanica. Nu din teoretic, nu din aplicat și nu din calcul, ci din vechiul bun mecanica clasica. Această mecanică este numită și mecanică newtoniană. Potrivit legendei, omul de știință se plimba prin grădină, a văzut un măr căzând și tocmai acest fenomen l-a determinat să descopere legea gravitației universale. Desigur, legea a existat dintotdeauna, iar Newton i-a dat doar o formă pe înțelesul oamenilor, dar meritul lui este neprețuit. În acest articol, nu vom descrie legile mecanicii newtoniene cât mai detaliat posibil, dar vom schița elementele de bază, cunoștințele de bază, definițiile și formulele care vă pot juca întotdeauna.

Mecanica este o ramură a fizicii, o știință care studiază mișcarea corpurilor materiale și interacțiunile dintre ele.

Cuvântul în sine este de origine greacă și se traduce prin „arta de a construi mașini”. Dar înainte de a construi mașini, mai avem mult de parcurs, așa că haideți să călcăm pe urmele strămoșilor noștri și vom studia mișcarea pietrelor aruncate în unghi față de orizont și a merelor care cad pe capete de la o înălțime h.

De ce începe studiul fizicii cu mecanica? Pentru că este complet firesc, să nu o pornim de la echilibrul termodinamic?!

Mecanica este una dintre cele mai vechi științe, iar din punct de vedere istoric, studiul fizicii a început tocmai cu bazele mecanicii. Plasați în cadrul timpului și al spațiului, oamenii, de fapt, nu puteau pleca de la altceva, oricât de mult și-ar fi dorit. Corpurile în mișcare sunt primul lucru la care acordăm atenție.

Ce este mișcarea?

Mișcarea mecanică este o modificare a poziției corpurilor în spațiu unul față de celălalt în timp.

După această definiție, ajungem în mod firesc la conceptul de cadru de referință. Schimbarea poziției corpurilor în spațiu unul față de celălalt. Cuvinte cheie aici: relativ unul față de celălalt . La urma urmei, un pasager într-o mașină se mișcă față de o persoană care stă pe marginea drumului cu o anumită viteză și se odihnește față de vecinul său pe un scaun din apropiere și se deplasează cu o altă viteză față de un pasager într-o mașină care îi depăşeşte.

De aceea, pentru a măsura în mod normal parametrii obiectelor în mișcare și a nu ne confunda, avem nevoie sistem de referință - corp de referință interconectat rigid, sistem de coordonate și ceas. De exemplu, pământul se mișcă în jurul soarelui într-un cadru de referință heliocentric. În viața de zi cu zi, efectuăm aproape toate măsurătorile într-un sistem de referință geocentric asociat cu Pământul. Pământul este un corp de referință în raport cu care se deplasează mașini, avioane, oameni, animale.

Mecanica, ca știință, are propria ei sarcină. Sarcina mecanicii este de a cunoaște în orice moment poziția corpului în spațiu. Cu alte cuvinte, mecanica construiește o descriere matematică a mișcării și găsește conexiuni între mărimile fizice care o caracterizează.

Pentru a merge mai departe, avem nevoie de noțiunea de „ punct material ". Ei spun că fizica este o știință exactă, dar fizicienii știu câte aproximări și presupuneri trebuie făcute pentru a fi de acord cu exactitatea aceasta. Nimeni nu a văzut vreodată un punct material sau a adulmecat un gaz ideal, dar ele există! Doar că sunt mult mai ușor de trăit cu ei.

Un punct material este un corp a cărui dimensiune și formă pot fi neglijate în contextul acestei probleme.

Secțiuni de mecanică clasică

Mecanica este formată din mai multe secțiuni

• Cinematică
• Dinamica
• Statică

Cinematică din punct de vedere fizic, studiază exact cum se mișcă corpul. Cu alte cuvinte, această secțiune tratează caracteristicile cantitative ale mișcării. Găsiți viteza, calea - sarcini tipice ale cinematicii

Dinamica rezolvă întrebarea de ce se mișcă așa cum o face. Adică ia în considerare forțele care acționează asupra corpului.

Statică studiază echilibrul corpurilor sub acțiunea forțelor, adică răspunde la întrebarea: de ce nu cade deloc?

Limitele de aplicabilitate ale mecanicii clasice

Mecanica clasică nu mai pretinde a fi o știință care explică totul (la începutul secolului trecut, totul era complet diferit) și are un domeniu clar de aplicabilitate. În general, legile mecanicii clasice sunt valabile pentru lumea cunoscută nouă în ceea ce privește dimensiunea (macroworld). Ele încetează să funcționeze în cazul lumii particulelor, când mecanica clasică este înlocuită cu mecanica cuantică. De asemenea, mecanica clasică este inaplicabilă cazurilor în care mișcarea corpurilor are loc la o viteză apropiată de viteza luminii. În astfel de cazuri, efectele relativiste devin pronunțate. Aproximativ vorbind, în cadrul mecanicii cuantice și relativiste - mecanica clasică, acesta este un caz special când dimensiunile corpului sunt mari și viteza este mică.

În general, efectele cuantice și relativiste nu dispar niciodată; ele au loc și în timpul mișcării obișnuite a corpurilor macroscopice la o viteză mult mai mică decât viteza luminii. Un alt lucru este că acțiunea acestor efecte este atât de mică încât nu depășește cele mai precise măsurători. Mecanica clasică nu își va pierde niciodată importanța fundamentală.

Vom continua să studiem bazele fizice ale mecanicii în articolele viitoare. Pentru o mai bună înțelegere a mecanicii, vă puteți referi oricând la autorii noștri, care aruncă în mod individual lumină asupra punctului întunecat al celei mai dificile sarcini.

1 tobogan

Curs de prelegeri de mecanică teoretică Dinamica (partea I) Bondarenko A.N. Moscova - 2007 Cursul de formare electronică a fost scris pe baza prelegerilor susținute de autor pentru studenții care studiază în specialitățile SZhD, PGS și SDM la NIIZhT și MIIT (1974-2006). Materialul educațional corespunde planurilor calendaristice în valoare de trei semestre. Pentru implementarea completă a efectelor de animație în timpul prezentării, trebuie să utilizați un vizualizator Power Point nu mai mic decât cel încorporat în Microsoft Office al sistemului de operare Windows XP Professional. Comentariile și sugestiile pot fi trimise prin e-mail: [email protected]. Universitatea de Stat de Inginerie Feroviară din Moscova (MIIT) Departamentul de mecanică teoretică Centrul științific și tehnic al tehnologiilor de transport

2 tobogan

Cuprins Cursul 1. Introducere în dinamică. Legile și axiomele dinamicii punctelor materiale. Ecuația de bază a dinamicii. Ecuații diferențiale și naturale ale mișcării. Două sarcini principale ale dinamicii. Exemple de rezolvare a problemei directe de dinamică Cursul 2. Rezolvarea problemei inverse de dinamică. Instrucțiuni generale pentru rezolvarea problemei inverse de dinamică. Exemple de rezolvare a problemei inverse a dinamicii. Mișcarea unui corp aruncat în unghi față de orizont, fără a ține cont de rezistența aerului. Curs 3. Oscilatii rectilinie ale unui punct material. Condiția pentru apariția oscilațiilor. Clasificarea vibrațiilor. Vibrații libere fără a ține cont de forțele de rezistență. vibrații amortizate. Scăderea oscilației. Curs 4. Oscilații forțate ale unui punct material. Rezonanţă. Influența rezistenței la mișcare în timpul vibrațiilor forțate. Cursul 5. Mișcarea relativă a unui punct material. Forțele de inerție. Cazuri speciale de mișcare pentru diferite tipuri de mișcare portabilă. Influența rotației Pământului asupra echilibrului și mișcării corpurilor. Curs 6. Dinamica unui sistem mecanic. sistem mecanic. Forțe externe și interne. Centrul de masă al sistemului. Teorema asupra mișcării centrului de masă. Legile de conservare. Un exemplu de rezolvare a problemei utilizării teoremei privind mișcarea centrului de masă. Curs 7. Impulsul de forta. Cantitatea de mișcare. Teorema privind modificarea impulsului. Legile de conservare. teorema lui Euler. Un exemplu de rezolvare a problemei privind utilizarea teoremei privind modificarea impulsului. moment de impuls. Teorema privind modificarea momentului unghiular Cursul 8. Legile de conservare. Elemente ale teoriei momentelor de inerție. Momentul cinetic al unui corp rigid. Ecuația diferențială de rotație a unui corp rigid. Un exemplu de rezolvare a problemei utilizării teoremei privind modificarea momentului unghiular al sistemului. Teoria elementară a giroscopului. Literatură recomandată 1. Yablonsky A.A. Curs de mecanică teoretică. Partea 2. M.: Liceu. 1977. 368 p. 2. Meshchersky I.V. Culegere de probleme de mecanică teoretică. M.: Știință. 1986 416 p. 3. Colectarea sarcinilor pentru lucrări de termen/ Ed. A.A. Yablonsky. M.: Liceu. 1985. 366 p. 4. Bondarenko A.N. „Mecanica teoretică în exemple și sarcini. Dynamics” (manual electronic www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004

3 slide

Cursul 1 Dinamica este o secțiune de mecanică teoretică care studiază mișcarea mecanică din cel mai general punct de vedere. Mișcarea este considerată în legătură cu forțele care acționează asupra obiectului. Secțiunea este formată din trei secțiuni: Dinamica unui punct material Dinamica Dinamica unui sistem mecanic Mecanica analitică ■ Dinamica unui punct - studiază mișcarea unui punct material, ținând cont de forțele care provoacă această mișcare. Obiectul principal este un punct material - un corp material cu o masă, ale cărei dimensiuni pot fi neglijate. Ipoteze de bază: - există un spațiu absolut (are proprietăți pur geometrice care nu depind de materie și de mișcarea ei. - există un timp absolut (nu depinde de materie și de mișcarea ei). De aici rezultă: - există un cadru de referință absolut imobil.- timpul nu depinde de mișcarea cadrului de referință.- masele punctelor în mișcare nu depind de mișcarea cadrului de referință.Aceste ipoteze sunt folosite în mecanica clasică creată de Galileo și Newton Are încă o sferă destul de largă, întrucât sistemele mecanice considerate în științele aplicate nu au mase și viteze de mișcare atât de mari, pentru care este necesar să se țină cont de influența lor asupra geometriei spațiului, timpului, mișcării, precum se realizează în mecanica relativistă (teoria relativității) ■ Legile de bază ale dinamicii - descoperite mai întâi de Galileo și formulate de Newton formează baza tuturor metodelor de descriere și analiză a mișcării sistemelor mecanice și a interacțiunii lor dinamice sub acțiunea diferitelor forte. ■ Legea inerției (legea Galileo-Newton) - Un punct material izolat al unui corp își păstrează starea de repaus sau mișcarea rectilinie uniformă până când forțele aplicate îl forțează să schimbe această stare. Aceasta implică echivalența stării de repaus și a mișcării prin inerție (legea relativității a lui Galileo). Cadrul de referință, în raport cu care se îndeplinește legea inerției, se numește inerțial. Proprietatea unui punct material de a se strădui să mențină viteza de mișcare (starea sa cinematică) neschimbată se numește inerție. ■ Legea proporționalității forței și a accelerației (Ecuația de bază a dinamicii - legea lui Newton II) - Accelerația dată de forță unui punct material este direct proporțională cu forța și invers proporțională cu masa acestui punct: sau Aici m este masa punctului (o măsură a inerției), măsurată în kg, egală numeric cu greutatea împărțită la accelerația gravitațională: F este forța care acționează, măsurată în N (1 N conferă o accelerație de 1 m/s2 unui punct cu o masa de 1 kg, 1 N \u003d 1/9. 81 kg-s). ■ Dinamica unui sistem mecanic - studiază mișcarea unui set de puncte materiale și corpuri solide, unite prin legile generale ale interacțiunii, ținând cont de forțele care provoacă această mișcare. ■ Mecanica analitica - studiaza miscarea sistemelor mecanice nelibere folosind metode analitice generale. 1

4 slide

Cursul 1 (continuare - 1.2) Ecuații diferențiale de mișcare a unui punct material: - ecuația diferențială de mișcare a unui punct în formă vectorială. - ecuaţii diferenţiale ale mişcării punctului sub formă de coordonate. Acest rezultat poate fi obținut prin proiecția formală a ecuației diferențiale vectoriale (1). După grupare, relația vectorială se descompune în trei ecuații scalare: În formă de coordonate: Folosim relația rază-vector cu coordonate și vectorul forță cu proiecții: ecuație diferențială a mișcării pe axe de coordonate naturale (în mișcare): sau: - ecuațiile naturale ale mișcării unui punct. ■ Ecuaţia de bază a dinamicii: - corespunde modului vectorial de precizare a mişcării unui punct. ■ Legea independenței acțiunii forțelor - Accelerația unui punct material sub acțiunea mai multor forțe este egală cu suma geometrică a accelerațiilor unui punct din acțiunea fiecăreia dintre forțe separat: sau Legea este valabilă. pentru orice stare cinematică a corpurilor. Forțele de interacțiune, fiind aplicate în diferite puncte (corpuri) nu sunt echilibrate. ■ Legea egalității acțiunii și reacției (legea a III-a a lui Newton) - Fiecărei acțiuni îi corespunde o reacție egală și direcționată opus: 2

5 slide

Două probleme principale de dinamică: 1. Problemă directă: Mișcarea este dată (ecuații de mișcare, traiectorie). Este necesar să se determine forțele sub acțiunea cărora are loc o anumită mișcare. 2. Problemă inversă: Sunt date forțele sub acțiunea cărora se produce mișcarea. Este necesar să se găsească parametrii de mișcare (ecuații de mișcare, traiectorie de mișcare). Ambele probleme sunt rezolvate folosind ecuația de bază a dinamicii și proiecția acesteia pe axele de coordonate. Dacă se ia în considerare mișcarea unui punct neliber, atunci, ca și în statică, se utilizează principiul eliberării din legături. Ca urmare a reacției, legăturile sunt incluse în compoziția forțelor care acționează asupra punctului material. Rezolvarea primei probleme este legată de operațiile de diferențiere. Rezolvarea problemei inverse necesită integrarea ecuațiilor diferențiale corespunzătoare, iar acest lucru este mult mai dificil decât diferențierea. Problema inversă este mai dificilă decât problema directă. Rezolvarea problemei directe a dinamicii - să ne uităm la exemple: Exemplul 1. O cabină cu greutatea G a unui lift este ridicată de un cablu cu o accelerație a . Determinați tensiunea cablului. 1. Selectați un obiect (cabina liftului se deplasează înainte și poate fi considerată ca punct material). 2. Aruncăm conexiunea (cablul) și o înlocuim cu reacția R. 3. Alcătuim ecuația de bază a dinamicii: Determinați reacția cablului: Determinați tensiunea cablului: Cu o mișcare uniformă a cabinei ay = 0 și tensiunea cablului este egală cu greutatea: T = G. Când cablul se rupe T = 0 şi acceleraţia cabinei este egală cu acceleraţia căderii libere: ay = -g. 3 4. Proiectăm ecuația de bază a dinamicii pe axa y: y Exemplul 2. Un punct de masă m se deplasează de-a lungul unei suprafețe orizontale (planul Oxy) conform ecuațiilor: x = a coskt, y = b coskt. Determinați forța care acționează asupra punctului. 1. Selectați un obiect (punct material). 2. Aruncăm legătura (planul) și o înlocuim cu reacția N. 3. Adăugăm la sistemul de forțe o forță necunoscută F. 4. Compuneți ecuația de bază a dinamicii: 5. Proiectați ecuația de bază a dinamicii pe axele x,y: Determinați proiecțiile forței: Modulul forței: Cosinusul direcției: Astfel, mărimea forței este proporțională cu distanța punctului la centrul de coordonate și este îndreptată spre centru de-a lungul liniei care leagă punctul de centru. Traiectoria mișcării punctului este o elipsă centrată la origine: O r Lecția 1 (continuare - 1.3)

6 diapozitiv

Cursul 1 (continuare 1.4) Exemplul 3: O sarcină cu greutatea G este suspendată pe un cablu de lungime l și se deplasează de-a lungul unui traseu circular într-un plan orizontal cu o anumită viteză. Unghiul de abatere al cablului de la verticală este egal cu. Determinați tensiunea cablului și viteza sarcinii. 1. Selectați un obiect (marfă). 2. Aruncați legătura (frânghia) și înlocuiți-o cu reacția R. 3. Compuneți ecuația de bază a dinamicii: Din a treia ecuație, determinați reacția cablului: Determinați tensiunea cablului: Înlocuiți valoarea reacției a cablului, accelerația normală în a doua ecuație și determinați viteza sarcinii: 4. Proiectați dinamica osiilor din ecuația principală,n,b: Exemplul 4: O mașină cu greutatea G se deplasează pe un pod convex (raza de curbură este R ) cu viteza V. Determinaţi presiunea maşinii pe pod. 1. Selectăm un obiect (o mașină, neglijăm dimensiunile și îl considerăm ca punct). 2. Aruncăm legătura (suprafață aspră) și o înlocuim cu reacțiile N și forța de frecare Ffr. 3. Compunem ecuația de bază a dinamicii: 4. Proiectăm ecuația de bază a dinamicii pe axa n: De aici determinăm reacția normală: Determinăm presiunea mașinii pe pod: De aici putem determina viteza corespunzătoare presiunii zero pe punte (Q = 0): 4

7 slide

Cursul 2 După înlocuirea valorilor găsite ale constantelor, obținem: Astfel, sub acțiunea aceluiași sistem de forțe, un punct material poate efectua o întreagă clasă de mișcări determinate de condițiile inițiale. Coordonatele inițiale țin cont de poziția inițială a punctului. Viteza inițială, dată de proiecții, ține cont de influența asupra mișcării acesteia de-a lungul secțiunii considerate a traiectoriei forțelor care au acționat asupra punctului înainte de a ajunge la această secțiune, i.e. starea cinematică inițială. Rezolvarea problemei inverse de dinamică - În cazul general al mișcării unui punct, forțele care acționează asupra punctului sunt variabile care depind de timp, coordonate și viteză. Mișcarea unui punct este descrisă de un sistem de trei ecuații diferențiale de ordinul doi: După integrarea fiecăreia dintre ele, vor exista șase constante C1, C2,..., C6: Valorile constantelor C1, C2,... ., C6 se găsesc din șase condiții inițiale la t = 0: Exemplul 1 al soluției problemei inverse: Un punct material liber de masă m se mișcă sub acțiunea unei forțe F, care este constantă ca mărime și mărime. . La momentul inițial, viteza punctului a fost v0 și a coincis în direcție cu forța. Determinați ecuația de mișcare a unui punct. 1. Compuneți ecuația de bază a dinamicii: 3. Coborâți ordinul derivatei: 2. Alegeți un sistem de referință cartezian, direcționând axa x de-a lungul direcției forței și proiectați ecuația de bază a dinamicii pe această axă: sau x y z 4 Separați variabilele: 5. Calculați integralele ambelor părți ale ecuației: 6. Să reprezentăm proiecția vitezei ca derivată a coordonatei în raport cu timpul: 8. Calculați integralele ambelor părți ale ecuației: 7. Separați variabilele: 9. Pentru a determina valorile constantelor C1 și C2, folosim condițiile inițiale t = 0, vx = v0 , x = x0: Ca rezultat, obținem ecuația mișcării uniform variabile (de-a lungul axa x): 5

8 slide

Instructiuni generale pentru rezolvarea problemelor directe si inverse. Procedura de rezolvare: 1. Compilarea ecuației diferențiale a mișcării: 1.1. Alegeți un sistem de coordonate - dreptunghiular (fix) cu o traiectorie de mișcare necunoscută, natural (în mișcare) cu o traiectorie cunoscută, de exemplu, un cerc sau o linie dreaptă. În acest din urmă caz, poate fi utilizată o coordonată rectilinie. Punctul de referință trebuie combinat cu poziția inițială a punctului (la t = 0) sau cu poziția de echilibru a punctului, dacă există, de exemplu, atunci când punctul fluctuează. 6 1.2. Desenați un punct într-o poziție corespunzătoare unui moment de timp arbitrar (pentru t > 0), astfel încât coordonatele să fie pozitive (s > 0, x > 0). De asemenea, presupunem că proiecția vitezei în această poziție este de asemenea pozitivă. În cazul oscilațiilor, proiecția vitezei își schimbă semnul, de exemplu, la revenirea la poziția de echilibru. Aici ar trebui să presupunem că în momentul de timp considerat punctul se îndepărtează de poziția de echilibru. Implementarea acestei recomandări este importantă în viitor atunci când se lucrează cu forțe de rezistență care depind de viteză. 1.3. Eliberați punctul material din legături, înlocuiți acțiunea lor cu reacții, adăugați forțe active. 1.4. Scrieți legea de bază a dinamicii în formă vectorială, proiectați pe axele selectate, exprimați forțele date sau reactive în termeni de variabilele timp, coordonate sau viteze, dacă acestea depind de acestea. 2. Rezolvarea ecuațiilor diferențiale: 2.1. Reduceți derivata dacă ecuația nu este redusă la forma canonică (standard). de exemplu: sau 2.2. Variabile separate, de exemplu: sau 2.4. Calculați integralele nedefinite din partea stângă și dreaptă a ecuației, de exemplu: 2.3. Dacă există trei variabile în ecuație, atunci faceți o schimbare de variabile, de exemplu: și apoi separați variabilele. Cometariu. În loc să calculeze integrale nedefinite este posibil să se calculeze integrale definite cu o limită superioară variabilă. Limitele inferioare reprezintă valorile inițiale ale variabilelor (condițiile inițiale).Atunci nu este nevoie să găsiți separat constanta, care este inclusă automat în soluție, de exemplu: Folosind condițiile inițiale, de exemplu, t = 0 , vx = vx0, determinați constanta de integrare: 2.5. Exprimați viteza în termeni de derivată în timp a coordonatei, de exemplu, și repetați pașii 2.2 -2.4 Notă. Dacă ecuația este redusă la o formă canonică care are o soluție standard, atunci se folosește această soluție gata făcută. Constantele de integrare se regăsesc încă din condițiile inițiale. Vezi, de exemplu, oscilații (cursul 4, p. 8). Cursul 2 (continuare 2.2)

9 slide

Cursul 2 (continuare 2.3) Exemplul 2 de rezolvare a problemei inverse: Forța depinde de timp. O sarcină cu greutatea P începe să se deplaseze de-a lungul unei suprafețe orizontale netede sub acțiunea unei forțe F, a cărei mărime este proporțională cu timpul (F = kt). Determinați distanța parcursă de sarcină în timpul t. 3. Compunem ecuația principală a dinamicii: 5. Coborăm ordinea derivatei: 4. Proiectăm ecuația principală a dinamicii pe axa x: sau 7 6. Separăm variabilele: 7. Calculăm integralele din ambele părți ale ecuației: 9. Reprezentăm proiecția vitezei ca derivată a coordonatei în raport cu timpul: 10. Calculați integralele ambelor părți ale ecuației: 9. Separați variabilele: 8. Determinați valoarea a constantei C1 din condiția inițială t = 0, vx = v0=0: Ca urmare, obținem ecuația mișcării (de-a lungul axei x), care dă valoarea distanței parcurse pentru timpul t: 1. Avem alegem sistemul de referință (coordonatele carteziane) astfel încât corpul să aibă o coordonată pozitivă: 2. Luăm obiectul mișcării ca punct material (corpul se deplasează înainte), îl eliberăm de legătură (planul de referință) și îl înlocuim cu reacție (reacția normală a unei suprafețe netede) : 11. Determinați valoarea constantei C2 din condiția inițială t = 0, x = x0=0: Exemplul 3 de rezolvare a problemei inverse: Forța depinde de coordonată. Un punct material de masă m este aruncat în sus de pe suprafața Pământului cu o viteză v0. Forța de gravitație a Pământului este invers proporțională cu pătratul distanței de la punct la centrul de greutate (centrul Pământului). Determinați dependența vitezei de distanța y până la centrul Pământului. 1. Alegem un sistem de referință (coordonate carteziane) astfel încât corpul să aibă o coordonată pozitivă: 2. Compunem ecuația de bază a dinamicii: 3. Proiectăm ecuația de bază a dinamicii pe axa y: sau Coeficientul de proporționalitate poate pot fi găsite folosind greutatea unui punct de pe suprafața Pământului: R Prin urmare diferența ecuației arată astfel: sau 4. Coborâți ordinul derivatei: 5. Schimbați variabila: 6. Separați variabilele: 7. Calculați integrale ale ambelor părți ale ecuației: 8. Înlocuiți limitele: Ca rezultat, obținem o expresie pentru viteza în funcție de coordonatele y: Înălțimea maximă de zbor poate fi găsită egalând viteza cu zero: Altitudinea maximă de zbor când numitorul se întoarce la zero: De aici, la stabilirea razei Pământului și a accelerației căderii libere, se obține viteza cosmică II:

10 diapozitive

Cursul 2 (continuare 2.4) Exemplul 2 de rezolvare a problemei inverse: Forța depinde de viteză. O navă de masa m avea viteza v0. Rezistența apei la mișcarea navei este proporțională cu viteza. Determinați timpul necesar ca viteza navei să scadă la jumătate după oprirea motorului, precum și distanța parcursă de navă până la oprirea completă. 8 1. Alegem un sistem de referință (coordonate carteziane) astfel încât corpul să aibă o coordonată pozitivă: 2. Luăm obiectul mișcării ca punct material (nava se deplasează înainte), îl eliberăm de legături (apa) și îl înlocuim cu o reacție (forța de plutire - forța lui Arhimede), precum și forța de rezistență la mișcare. 3. Adăugați forța activă (gravitație). 4. Compunem ecuația principală a dinamicii: 5. Proiectăm ecuația principală a dinamicii pe axa x: sau 6. Coborâm ordinea derivatei: 7. Separăm variabilele: 8. Calculăm integralele din ambele părți ale ecuației: 9. Înlocuim limitele: Se obține o expresie care raportează viteza și timpul t, din care se poate determina timpul de mișcare: Timpul de mișcare, în timpul căruia viteza va scădea la jumătate: It este interesant de observat că atunci când viteza se apropie de zero, timpul de mișcare tinde spre infinit, adică. viteza finală nu poate fi zero. De ce nu „mișcare perpetuă”? Totuși, în acest caz, distanța parcursă până la oprire este o valoare finită. Pentru a determina distanța parcursă, apelăm la expresia obținută în urma scăderii ordinului derivatei, și facem o schimbare de variabilă: După integrarea și înlocuirea limitelor, obținem: Distanța parcursă până la oprire: ■ Mișcarea unui punct aruncat în un unghi față de orizont într-un câmp gravitațional uniform fără a ține cont de rezistența aerului Eliminând timpul din ecuațiile mișcării, obținem ecuația traiectoriei: Timpul de zbor se determină prin echivalarea coordonatei y la zero: Intervalul de zbor se determină prin înlocuirea timpul de zbor:

11 diapozitiv

Cursul 3 Oscilații rectilinii ale unui punct material - Mișcarea oscilatorie a unui punct material are loc cu condiția: există o forță de restabilire care tinde să readucă punctul în poziția de echilibru pentru orice abatere de la această poziție. 9 Există o forță de restabilire, poziția de echilibru este stabilă Fără forță de restabilire, poziția de echilibru este instabilă Fără forță de restabilire, poziția de echilibru este indiferentă Este întotdeauna îndreptată spre poziția de echilibru, valoarea este direct proporțională cu alungirea liniară (scurtarea) arcului, care este egală cu abaterea corpului de la poziția de echilibru: c este coeficientul de rigiditate a arcului, egal numeric cu forța sub care arcul își schimbă lungimea cu unu, măsurată în N/m în sistemul SI. x y O Tipuri de vibratii ale unui punct material: 1. Vibratii libere (fara a se tine cont de rezistenta mediului). 2. Oscilatii libere tinand cont de rezistenta mediului (oscilatii amortizate). 3. Vibrații forțate. 4. Oscilații forțate ținând cont de rezistența mediului. ■ Oscilaţii libere - apar doar sub acţiunea unei forţe de restabilire. Să notăm legea de bază a dinamicii: Să alegem un sistem de coordonate centrat la poziția de echilibru (punctul O) și să proiectăm ecuația pe axa x: Să aducem ecuația rezultată la forma standard (canonică): Această ecuație este omogenă ecuație diferențială liniară de ordinul doi, a cărei formă a soluției este determinată de rădăcinile caracteristicii ecuației obținute cu ajutorul substituției universale: Rădăcinile ecuației caracteristice sunt imaginare și egale: Soluția generală a ecuației diferențiale are forma: Viteza punctului: Condiții inițiale: Definiți constantele: Deci, ecuația vibrațiilor libere are forma: Ecuația poate fi reprezentată printr-o expresie unică: unde a este amplitudinea, - faza inițială. Noile constante a și - sunt legate de constantele C1 și C2 prin relațiile: Să definim a și: Motivul apariției oscilațiilor libere este deplasarea inițială x0 și/sau viteza inițială v0.

12 slide

10 Cursul 3 (continuare 3.2) Oscilații amortizate ale unui punct material - Mișcarea oscilatorie a unui punct material are loc în prezența unei forțe de restabilire și a unei forțe de rezistență la mișcare. Dependența forței de rezistență la mișcare de deplasare sau viteză este determinată de natura fizică a mediului sau a conexiunii care împiedică mișcarea. Cea mai simplă dependență este o dependență liniară de viteză (rezistența vâscoasă): - coeficientul de vâscozitate x y O din valorile rădăcinilor: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k - caz de rezistenta vascoasa mare: - radacini reale, diferite. sau - aceste funcții sunt aperiodice: 3. n = k: - rădăcinile sunt reale, multiple. aceste funcții sunt și aperiodice:

13 diapozitiv

Cursul 3 (continuare 3.3) Clasificarea soluţiilor de oscilaţii libere. Conexiuni cu arc. duritate echivalentă. y y 11 Dif. Caracterul ecuației. Ecuația Rădăcini char. ecuație Rezolvarea ecuației diferențiale Graficul nk n=k

14 slide

Cursul 4 Vibrații forțate ale unui punct material - Alături de forța de restabilire, acționează o forță în schimbare periodică, numită forță perturbatoare. Forța perturbatoare poate avea o natură diferită. De exemplu, într-un caz particular, efectul inerțial al unei mase dezechilibrate m1 a unui rotor în rotație determină proiecții de forță care se schimbă armonic: Ecuația principală a dinamicii: Proiecția ecuației dinamicii pe axă: Să aducem ecuația la standard forma: 12 Soluția acestei ecuații diferențiale neomogene constă din două părți x = x1 + x2: x1 este soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare și x2 este o soluție particulară a ecuației neomogene: Selectăm soluția particulară sub formă de partea dreaptă: Egalitatea rezultată trebuie să fie satisfăcută pentru orice t . Atunci: sau Astfel, cu acţiunea simultană a forţelor restauratoare şi perturbatoare, punctul material realizează o mişcare oscilatorie complexă, care este rezultatul adunării (suprapunerii) vibraţiilor libere (x1) şi forţate (x2). Dacă p< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!): Таким образом, частное решение: Если p >k (oscilații forțate de înaltă frecvență), atunci faza oscilațiilor este opusă fazei forței perturbatoare:

15 slide

Cursul 4 (continuare 4.2) 13 Coeficient dinamic - raportul dintre amplitudinea oscilațiilor forțate și deviația statică a unui punct sub acțiunea unei forțe constante H = const: Amplitudinea oscilațiilor forțate: Abaterea statică poate fi găsită din ecuația de echilibru: Aici: Prin urmare: Astfel, la p< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (frecvența înaltă a oscilațiilor forțate) coeficient dinamic: Rezonanța - apare atunci când frecvența oscilațiilor forțate coincide cu frecvența oscilațiilor naturale (p = k). Acest lucru se întâmplă cel mai adesea la pornirea și oprirea rotației rotoarelor prost echilibrate montate pe suspensii elastice. Ecuația diferențială a oscilațiilor cu frecvențe egale: O anumită soluție sub forma părții drepte nu poate fi luată, deoarece se va obţine o soluţie dependentă liniar (vezi soluţia generală). Soluție generală: Înlocuiți în ecuația diferențială: Luați o anumită soluție în formă și calculați derivatele: Astfel, se obține soluția: sau Oscilațiile forțate la rezonanță au o amplitudine care crește nelimitat proporțional cu timpul. Influența rezistenței la mișcare în timpul vibrațiilor forțate. Ecuația diferențială în prezența rezistenței vâscoase are forma: Soluția generală este selectată din tabel (Lectura 3, p. 11) în funcție de raportul dintre n și k (vezi). Luăm o anumită soluție sub forma și calculăm derivatele: Înlocuitor în ecuația diferențială: Echivalând coeficienții pentru funcții trigonometrice identice, obținem un sistem de ecuații: Ridicând ambele ecuații la o putere și adunându-le, obținem amplitudinea oscilații forțate: Prin împărțirea celei de-a doua ecuații la prima, obținem defazajul oscilațiilor forțate: Astfel , ecuația de mișcare pentru oscilații forțate, ținând cont de rezistența la mișcare, de exemplu, pentru n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 slide

Cursul 5 Mișcarea relativă a unui punct material - Să presupunem că sistemul de coordonate în mișcare (neinerțial) Oxyz se mișcă conform unei legi relativ la sistemul de coordonate fix (inerțial) O1x1y1z1. Mișcarea unui punct material M (x, y, z) față de sistemul mobil Oxyz este relativă, față de sistemul nemișcat O1x1y1z1 este absolută. Mișcarea sistemului mobil Oxyz în raport cu sistemul fix O1x1y1z1 este o mișcare portabilă. 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O Ecuația de bază a dinamicii: Accelerația absolută a unui punct: Înlocuiți accelerația absolută a unui punct în ecuația de bază a dinamicii: Să transferăm termenii cu accelerație de translație și Coriolis în partea dreaptă: The termenii transferați au dimensiunea forțelor și sunt considerați forțe inerțiale corespunzătoare, egale: Atunci mișcarea relativă a unui punct poate fi considerată absolută, dacă adăugăm forțele de inerție de translație și Coriolis la forțele care acționează: În proiecțiile pe axele sistemului de coordonate în mișcare, avem: rotația este uniformă, atunci εe = 0: 2. Mișcarea curbilinie de translație: Dacă mișcarea este rectilinie, atunci = : Dacă mișcarea este rectilinie și uniformă, atunci sistemul în mișcare este inerțial și mișcarea relativă poate fi considerată absolută: Niciun fenomen mecanic nu poate detecta mișcarea uniformă rectilinie (relativitatea de principiu a mecanicii clasice). Influența rotației Pământului asupra echilibrului corpurilor - Să presupunem că corpul se află în echilibru pe suprafața Pământului la o latitudine arbitrară φ (paralele). Pământul se rotește în jurul axei sale de la vest la est cu o viteză unghiulară: raza Pământului este de aproximativ 6370 km. S R este reacția totală a unei suprafețe nenetede. G - forța de atracție a Pământului către centru. Ф - forța centrifugă de inerție. Condiție de echilibru relativ: Rezultanța forțelor de atracție și inerție este forța gravitației (greutatea): Mărimea forței gravitaționale (greutatea) pe suprafața Pământului este P = mg. Forța centrifugă de inerție este o mică parte a forței gravitaționale: Deviația forței gravitaționale de la direcția forței de atracție este, de asemenea, mică: Astfel, influența rotației Pământului asupra echilibrului corpurilor este extrem de mică. și nu este luată în considerare în calculele practice. Valoarea maximă a forței de inerție (la φ = 0 - la ecuator) este doar 0,00343 din valoarea gravitației

17 slide

Cursul 5 (continuare 5.2) 15 Influența rotației Pământului asupra mișcării corpurilor în câmpul gravitațional al Pământului - Să presupunem că un corp cade pe Pământ de la o anumită înălțime H deasupra suprafeței Pământului la latitudinea φ . Să alegem un cadru de referință în mișcare, legat rigid cu Pământul, care direcționează axele x, y tangențial la paralelă și la meridian: Ecuația mișcării relative: Aici se ia în considerare micimea forței centrifuge de inerție față de gravitație. . Astfel, forța gravitației este identificată cu forța gravitației. În plus, presupunem că gravitația este direcționată perpendicular pe suprafața Pământului datorită micșorării deviației sale, așa cum sa discutat mai sus. Accelerația Coriolis este egală și direcționată paralel cu axa y la vest. Forța de inerție Coriolis este direcționată în direcția opusă. Proiectăm ecuația mișcării relative pe axă: Soluția primei ecuații dă: Condiții inițiale: Soluția celei de-a treia ecuații oferă: Condiții inițiale: A treia ecuație ia forma: Condiții inițiale: Soluția ei dă: Soluția rezultată arată că corpul deviază spre est când cade. Să calculăm valoarea acestei abateri, de exemplu, la căderea de la o înălțime de 100 m. Găsim timpul de cădere din soluția celei de-a doua ecuații: Astfel, influența rotației Pământului asupra mișcării corpurilor este extrem de mică. pentru înălțimi și viteze practice și nu este luată în considerare în calculele tehnice. Rezolvarea celei de-a doua ecuații implică și existența unei viteze de-a lungul axei y, care ar trebui să provoace și să provoace accelerația corespunzătoare și forța de inerție Coriolis. Influența acestei viteze și a forței de inerție asociate acesteia asupra schimbării mișcării va fi chiar mai mică decât forța de inerție Coriolis considerată asociată cu viteza verticală.

18 slide

Cursul 6 Dinamica unui sistem mecanic. Sistem de puncte materiale sau sistem mecanic - Un set de puncte materiale sau acele puncte materiale unite prin legile generale ale interacțiunii (poziția sau mișcarea fiecăruia dintre punctele sau un corp depinde de poziția și mișcarea tuturor celorlalte). puncte libere - a căror mișcare nu este limitată de nicio conexiune (de exemplu, un sistem planetar , în care planetele sunt considerate puncte materiale). Un sistem de puncte nelibere sau un sistem mecanic neliber - mișcarea punctelor materiale sau a corpurilor este limitată de constrângerile impuse sistemului (de exemplu, un mecanism, o mașină etc.). 16 Forțe care acționează asupra sistemului. Pe lângă clasificarea forțelor existentă anterior (forțe active și reactive), se introduce o nouă clasificare a forțelor: 1. Forțe externe (e) - care acționează asupra punctelor și corpurilor sistemului din puncte sau corpuri care nu fac parte din acesta. sistem. 2. Forțe interne (i) - forțe de interacțiune între punctele materiale sau corpurile incluse în sistemul dat. Aceeași forță poate fi atât forță externă, cât și forță internă. Totul depinde de ce sistem mecanic este luat în considerare. De exemplu: În sistemul Soarelui, Pământului și Lunii, toate forțele gravitaționale dintre ele sunt interne. Când luăm în considerare sistemul Pământului și Lunii, forțele gravitaționale aplicate din partea Soarelui sunt externe: C Z L Pe baza legii de acțiune și reacție, fiecărei forțe interne Fk îi corespunde o altă forță internă Fk', egală ca valoare absolută și opusă în direcţie. De aici rezultă două proprietăți remarcabile ale forțelor interne: Vectorul principal al tuturor forțelor interne ale sistemului este egal cu zero: Momentul principal al tuturor forțelor interne ale sistemului față de orice centru este egal cu zero: Sau în proiecții pe coordonate axe: Notă. Deși aceste ecuații sunt similare cu ecuațiile de echilibru, nu sunt, deoarece forțele interne sunt aplicate diferitelor puncte sau corpuri ale sistemului și pot face ca aceste puncte (corpuri) să se miște unul față de celălalt. Din aceste ecuații rezultă că forțele interne nu afectează mișcarea unui sistem considerat ca un întreg. Centrul de masă al sistemului de puncte materiale. Pentru a descrie mișcarea sistemului în ansamblu, se introduce un punct geometric, numit centru de masă, al cărui vector rază este determinat de expresia, unde M este masa întregului sistem: Sau în proiecții pe coordonată axe: Formulele pentru centrul de masă sunt similare cu cele pentru centrul de greutate. Cu toate acestea, conceptul de centru de masă este mai general, deoarece nu este legat de forțele de greutate sau de forțele de greutate.

19 slide

Cursul 6 (continuare 6.2) 17 Teorema privind mișcarea centrului de masă al sistemului - Considerăm un sistem de n puncte materiale. Împărțim forțele aplicate fiecărui punct în cele externe și interne și le înlocuim cu rezultantele corespunzătoare Fke și Fki. Să notăm pentru fiecare punct ecuația de bază a dinamicii: sau Să însumăm aceste ecuații peste toate punctele: În partea stângă a ecuației, vom introduce masele sub semnul derivatei și vom înlocui suma derivatelor cu derivata a sumei: Din definiția centrului de masă: Înlocuiți în ecuația rezultată: obținem sau: Produsul dintre masa sistemului și accelerația masei sale centrale este egal cu vectorul principal al forțelor externe. În proiecțiile pe axele de coordonate: Centrul de masă al sistemului se mișcă ca punct material cu o masă egală cu masa întregului sistem, căruia i se aplică toate forțele externe care acționează asupra sistemului. Consecințe din teorema asupra mișcării centrului de masă al sistemului (legile conservării): 1. Dacă în intervalul de timp vectorul principal al forțelor externe ale sistemului este egal cu zero, Re = 0, atunci viteza de centrul de masă este constant, vC = const (centrul de masă se mișcă uniform rectiliniu - legea conservării mișcării centru de masă). 2. Dacă în intervalul de timp proiecția vectorului principal al forțelor externe ale sistemului pe axa x este egală cu zero, Rxe = 0, atunci viteza centrului de masă de-a lungul axei x este constantă, vCx = const (centrul de masă se mișcă uniform de-a lungul axei). Afirmații similare sunt adevărate pentru axele y și z. Exemplu: Două persoane de masele m1 și m2 se află într-o barcă de masa m3. La momentul inițial, barca cu oameni era în repaus. Determinați deplasarea bărcii dacă o persoană cu masa m2 s-a deplasat la prova bărcii la distanță a. 3. Dacă în intervalul de timp vectorul principal al forțelor externe ale sistemului este egal cu zero, Re = 0, iar în momentul inițial viteza centrului de masă este egală cu zero, vC = 0, atunci vectorul rază a centrului de masă rămâne constant, rC = const (centrul de masă este în repaus este legea conservării poziţiei centrului de masă). 4. Dacă în intervalul de timp proiecția vectorului principal al forțelor externe ale sistemului pe axa x este egală cu zero, Rxe = 0, iar în momentul inițial viteza centrului de masă de-a lungul acestei axe este zero. , vCx = 0, atunci coordonata centrului de masă de-a lungul axei x rămâne constantă, xC = const (centrul de masă nu se mișcă de-a lungul acestei axe). Afirmații similare sunt adevărate pentru axele y și z. 1. Obiect de mișcare (barcă cu oameni): 2. Aruncați conexiunile (apă): 3. Înlocuiți legătura cu reacția: 4. Adăugați forțele active: 5. Scrieți teorema despre centrul de masă: Proiectați pe axa x : O Stabiliți cât de departe trebuie să vă transferați la o persoană cu masa m1, astfel încât barca să rămână pe loc: Barca se va deplasa pe o distanță l în direcția opusă.

20 de diapozitive

Cursul 7 Impulsul forței este o măsură a interacțiunii mecanice care caracterizează transferul mișcării mecanice de la forțele care acționează asupra punctului pentru o anumită perioadă de timp: 18 În proiecțiile pe axele de coordonate: În cazul unei forțe constante: În proiecții pe axele de coordonate: către punctul de forță în același interval de timp: Înmulțire cu dt: Integrare într-un interval de timp dat: Mărimea mișcării punctului este o măsură a mișcării mecanice, determinată de un vector egal cu produsul lui masa punctului și vectorul vitezei acestuia: Teorema privind modificarea cantității de mișcare a sistemului – Se consideră sistemul n puncte materiale. Împărțim forțele aplicate fiecărui punct în cele externe și interne și le înlocuim cu rezultantele corespunzătoare Fke și Fki. Să scriem pentru fiecare punct ecuația de bază a dinamicii: sau Momentul sistemului de puncte materiale este suma geometrică a cantităților de mișcare a punctelor materiale: Prin definiția centrului de masă: Vectorul impulsului sistemului este egal cu produsul dintre masa întregului sistem și vectorul viteză al centrului de masă al sistemului. Apoi: În proiecțiile pe axele de coordonate: Derivata în timp a vectorului impuls al sistemului este egală cu vectorul principal al forțelor externe ale sistemului. Să însumăm aceste ecuații peste toate punctele: În partea stângă a ecuației, introducem masele sub semnul derivatei și înlocuim suma derivatelor cu derivata sumei: Din definiția impulsului sistemului: În proiecțiile pe axele de coordonate:

21 slide

Teorema lui Euler - Aplicarea teoremei asupra modificării impulsului unui sistem la mișcarea unui mediu continuu (apa). 1. Selectăm ca obiect de mișcare volumul de apă situat în canalul curbiliniu al turbinei: 2. Aruncăm legăturile și înlocuim acțiunea acestora cu reacții (Rpov - rezultanta forțelor de suprafață) 3. Adăugăm forțe active (Rb). - rezultanta forțelor corpului): 4. Scrieți teorema privind modificarea impulsului sistemului: Elanul apei la momentele t0 și t1 este reprezentat ca sume: Modificarea impulsului apei în intervalul de timp : Modificarea în impulsul apei într-un interval de timp infinitezimal dt: , unde F1 F2 Luând produsul densității, ariei secțiunii transversale și vitezei pe secundă de masă, obținem: Înlocuind diferența de impuls a sistemului în teorema modificării, obținem : Consecințe din teoremă asupra modificării impulsului sistemului (legile conservării): 1. Dacă în intervalul de timp vectorul principal al forțelor externe ale sistemului este egal cu zero, Re = 0, atunci mișcarea vectorului mărime este constantă, Q = const este legea conservării impulsului sistemului). 2. Dacă în intervalul de timp proiecția vectorului principal al forțelor externe ale sistemului pe axa x este egală cu zero, Rxe = 0, atunci proiecția impulsului sistemului pe axa x este constantă, Qx = const. Afirmații similare sunt adevărate pentru axele y și z. Cursul 7 (continuare din 7.2) Exemplu: O grenadă de masă M, care zbura cu viteza v, a explodat în două părți. Viteza unuia dintre fragmentele de masă m1 a crescut în direcția de mișcare până la valoarea v1. Determinați viteza celui de-al doilea fragment. 1. Obiectul mișcării (grenada): 2. Obiectul este un sistem liber, nu există conexiuni și reacțiile lor. 3. Adăugați forțele active: 4. Scrieți teorema privind modificarea impulsului: Proiectați pe axă: β Împărțiți variabilele și integrați: Integrala dreaptă este aproape zero, deoarece timpul de explozie t

22 slide

Cursul 7 (continuare 7.3) 20 Momentul unghiular al unui punct sau momentul cinetic al mișcării în raport cu un anumit centru este o măsură a mișcării mecanice, determinată de un vector egal cu produsul vectorial dintre vectorul rază al unui punct material și vector al impulsului său: Momentul cinetic al unui sistem de puncte materiale relativ la un anumit centru este geometric suma momentelor impulsului tuturor punctelor materiale relativ la același centru: În proiecții pe axă: În proiecții pe axă : Teorema privind modificarea momentului de impuls al sistemului - Să considerăm un sistem de n puncte materiale. Împărțim forțele aplicate fiecărui punct în cele externe și interne și le înlocuim cu rezultantele corespunzătoare Fke și Fki. Să scriem pentru fiecare punct ecuația de bază a dinamicii: sau Să însumăm aceste ecuații peste toate punctele: Să înlocuim suma derivatelor cu derivata sumei: Expresia dintre paranteze este momentul de impuls al sistemului. De aici: Înmulțim vectorial fiecare dintre egalități cu raza-vector din stânga: Să vedem dacă este posibil să luăm semnul derivatei dincolo de limitele produsului vectorial: Astfel, am obținut: centru. În proiecțiile pe axele de coordonate: Derivata momentului de impuls al sistemului față de o anumită axă în timp este egală cu momentul principal al forțelor externe ale sistemului față de aceeași axă.

23 slide

Cursul 8 21 ■ Consecințele teoremei asupra modificării momentului unghiular al sistemului (legile conservării): 1. Dacă în intervalul de timp vectorul momentului principal al forțelor externe ale sistemului relativ la un anumit centru este egal la zero, MOe = 0, atunci vectorul momentului unghiular al sistemului relativ la același centru este constant, KO = const este legea conservării impulsului a sistemului). 2. Dacă în intervalul de timp momentul principal al forțelor externe ale sistemului față de axa x este egal cu zero, Mxe = 0, atunci momentul unghiular al sistemului față de axa x este constant, Kx = const. Afirmații similare sunt adevărate pentru axele y și z. 2. Momentul de inerție al unui corp rigid în jurul unei axe: Momentul de inerție al unui punct material în jurul unei axe este egal cu produsul dintre masa punctului și pătratul distanței punctului față de axă. Momentul de inerție al unui corp rigid în jurul unei axe este egal cu suma produselor masei fiecărui punct și pătratul distanței acestui punct față de axă. ■ Elemente ale teoriei momentelor de inerție - Cu mișcarea de rotație a unui corp rigid, măsura inerției (rezistența la schimbarea în mișcare) este momentul de inerție în jurul axei de rotație. Luați în considerare conceptele de bază ale definiției și metodele de calcul a momentelor de inerție. 1. Momentul de inerție al unui punct material în jurul axei: La trecerea de la o masă discretă mică la o masă infinit mică a unui punct, limita unei astfel de sume este determinată de integrala: momentul axial de inerție al unui corp rigid . Pe lângă momentul de inerție axial al unui corp rigid, există și alte tipuri de momente de inerție: momentul de inerție centrifugal al unui corp rigid. momentul polar de inerție al unui corp rigid. 3. Teorema despre momentele de inerție ale unui corp rigid față de axele paralele - formula pentru trecerea la axe paralele: Moment de inerție față de axa de referință Momente statice de inerție față de axele de referință Momentele masei corporale sunt zero:

24 slide

Cursul 8 (continuare 8.2) 22 Momentul de inerție al unei tije uniforme de secțiune constantă în jurul axei: x z L Selectați volumul elementar dV = Adx la distanță x: x dx Masa elementară: Pentru a calcula momentul de inerție în jurul axei centrale (trecând prin centrul de greutate), este suficient să schimbați locația axei și să setați limitele de integrare (-L/2, L/2). Aici demonstrăm formula pentru trecerea la axe paralele: zС 5. Momentul de inerție al unui cilindru solid omogen în jurul axei de simetrie: H dr r Să evidențiem volumul elementar dV = 2πrdrH (cilindru subțire cu raza r) : Masa elementară: Aici folosim formula volumului cilindrului V=πR2H. Pentru a calcula momentul de inerție al unui cilindru tubular (gros), este suficient să stabilim limitele de integrare de la R1 la R2 (R2> R1): 6. Momentul de inerție al unui cilindru subțire în jurul axei de simetrie (t

25 slide

Cursul 8 (continuare 8.3) 23 ■ Ecuația diferențială de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe: Să scriem o teoremă despre modificarea momentului unghiular al unui corp rigid care se rotește în jurul unei axe fixe: Momentul unui corp rigid în rotație este: Momentul a forțelor exterioare în jurul axei de rotație este egală cu cuplul (reacțiile și forța nu creează momente gravitaționale): înlocuim momentul cinetic și cuplul în teoremă Exemplu: Două persoane de aceeași greutate G1 = G2 atârnă de o frânghie aruncat peste un bloc solid cu o greutate G3 = G1/4. La un moment dat, unul dintre ei a început să urce pe frânghie cu o viteză relativă u. Determinați viteza de ridicare a fiecărei persoane. 1. Selectăm obiectul de mișcare (bloc cu oameni): 2. Aruncăm conexiunile (dispozitivul de sprijin al blocului): 3. Înlocuim legătura cu reacții (lagăr): 4. Adăugăm forțe active (gravitație): 5. Scrieți teorema privind modificarea momentului cinetic al sistemului față de axa de rotație a blocului: R Întrucât momentul forțelor exterioare este egal cu zero, momentul cinetic trebuie să rămână constant: La momentul inițial de timp t = 0, a existat echilibru și Kz0 = 0. După începerea mișcării unei persoane față de frânghie, întregul sistem a început să se miște, dar momentul cinetic al sistemului trebuie să rămână egal cu zero: Kz = 0. Momentul unghiular al sistemului este suma momentelor unghiulare ale ambelor persoane și ale blocului: Aici v2 este viteza celei de-a doua persoane, egală cu viteza capătului cablului pe o axă fixă ​​de rotație. Sau: În cazul oscilațiilor mici sinφ φ: Perioada de oscilație: Momentul de inerție al tijei:

26 slide

Cursul 8 (continuare 8.4 - material suplimentar) 24 ■ Teoria elementară a giroscopului: Un giroscop este un corp rigid care se rotește în jurul axei de simetrie a materialului, unul dintre punctele căruia este fix. Un giroscop liber este fixat în așa fel încât centrul său de masă să rămână staționar, iar axa de rotație trece prin centrul de masă și poate lua orice poziție în spațiu, adică. axa de rotație își schimbă poziția ca și axa de rotație proprie a corpului în timpul mișcării sferice. Principala ipoteză a teoriei aproximative (elementare) a giroscopului este că vectorul de impuls (momentul cinetic) al rotorului este considerat a fi direcționat de-a lungul propriei axe de rotație. Astfel, în ciuda faptului că, în cazul general, rotorul participă la trei rotații, se ia în considerare doar viteza unghiulară a propriei rotații ω = dφ/dt. Motivul pentru aceasta este că, în tehnologia modernă, rotorul giroscopului se rotește cu o viteză unghiulară de ordinul 5000-8000 rad/s (aproximativ 50000-80000 rpm), în timp ce celelalte două viteze unghiulare asociate cu precesiunea și nutația propriei axe. de rotație de zeci de mii de ori mai mică decât această viteză. Principala proprietate a unui giroscop liber este că axa rotorului menține o direcție constantă în spațiu față de sistemul de referință inerțial (stelar) (demonstrat de pendulul Foucault, care menține planul de balansare neschimbat în raport cu stele, 1852). Aceasta rezultă din legea conservării momentului cinetic relativ la centrul de masă al rotorului, cu condiția să se neglijeze frecarea în lagărele axelor de suspensie a rotorului, cadrul exterior și interior: Acțiunea forței pe axa unei libere. giroscop. În cazul unei forțe aplicate axei rotorului, momentul forțelor exterioare față de centrul de masă nu este egal cu zero: ω ω С forță, iar spre vectorul momentului acestei forțe, adică. se va roti nu în jurul axei x (suspensia internă), ci în jurul axei y (suspensia externă). La terminarea forței, axa rotorului va rămâne în aceeași poziție, corespunzătoare ultimului timp al forței, deoarece din acest moment, momentul forțelor externe devine din nou egal cu zero. În cazul unei acțiuni de forță (impact) pe termen scurt, axa giroscopului practic nu își schimbă poziția. Astfel, rotirea rapidă a rotorului oferă giroscopului capacitatea de a contracara influențele aleatorii care urmăresc schimbarea poziția axei de rotație a rotorului, iar cu o acțiune constantă a forței, menține poziția planului perpendicular pe forța care acționează în care se află axa rotorului. Aceste proprietăți sunt utilizate în operarea sistemelor de navigație inerțiale.