Adição de raízes e números primos. Raiz quadrada. Ações com raízes quadradas. Módulo. Comparação de raízes quadradas. Regra básica de multiplicação

Em nosso tempo de computadores eletrônicos modernos, calcular a raiz de um número não é uma tarefa difícil. Por exemplo, √2704=52, qualquer calculadora calculará isso para você. Felizmente, a calculadora não está apenas no Windows, mas também em um telefone comum, mesmo o mais simples. É verdade que, se de repente (com um pequeno grau de probabilidade, cujo cálculo, a propósito, inclui a adição de raízes) você se encontrar sem fundos disponíveis, então, infelizmente, terá que confiar apenas em seu cérebro.

O treinamento da mente nunca falha. Especialmente para quem não trabalha com números com tanta frequência, e ainda mais com raízes. Adicionar e subtrair raízes é um bom treino para uma mente entediada. E eu vou te mostrar a adição de raízes passo a passo. Exemplos de expressões podem ser os seguintes.

A equação a ser simplificada é:

√2+3√48-4×√27+√128

Esta é uma expressão irracional. Para simplificar, você precisa trazer todas as expressões radicais para uma forma comum. Fazemos em etapas:

O primeiro número não pode mais ser simplificado. Vamos para o segundo mandato.

3√48 fatoramos 48: 48=2×24 ou 48=3×16. de 24 não é um número inteiro, ou seja, tem resto fracionário. Como precisamos de um valor exato, raízes aproximadas não são adequadas para nós. A raiz quadrada de 16 é 4, retire de baixo Obtemos: 3×4×√3=12×√3

Nossa próxima expressão é negativa, ou seja. escrito com um sinal de menos -4×√(27.) Fatoração 27. Obtemos 27 = 3 × 9. Não usamos fatores fracionários, porque é mais difícil calcular a raiz quadrada a partir de frações. Tiramos 9 de baixo do sinal, ou seja, calcule a raiz quadrada. Obtemos a seguinte expressão: -4×3×√3 = -12×√3

O próximo termo √128 calcula a parte que pode ser retirada da raiz. 128=64×2 onde √64=8. Se for mais fácil para você, você pode representar essa expressão assim: √128=√(8^2×2)

Reescrevemos a expressão com termos simplificados:

√2+12×√3-12×√3+8×√2

Agora somamos os números com a mesma expressão radical. Você não pode adicionar ou subtrair expressões com diferentes expressões radicais. A adição de raízes exige o cumprimento desta regra.

Obtemos a seguinte resposta:

√2+12√3-12√3+8√2=9√2

√2=1×√2 - Espero que seja costume em álgebra omitir tais elementos não seja novidade para você.

As expressões podem ser representadas não apenas por raízes quadradas, mas também por raízes cúbicas ou n-ésimas.

A adição e subtração de raízes com expoentes diferentes, mas com uma expressão de raiz equivalente, ocorre da seguinte forma:

Se tivermos uma expressão como √a+∛b+∜b, podemos simplificar essa expressão assim:

∛b+∜b=12×√b4 +12×√b3

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Reduzimos dois termos semelhantes ao expoente comum da raiz. A propriedade das raízes foi usada aqui, que diz: se o número do grau da expressão radical e o número do expoente da raiz forem multiplicados pelo mesmo número, seu cálculo permanecerá inalterado.

Nota: os expoentes são adicionados apenas quando multiplicados.

Considere um exemplo em que frações estão presentes em uma expressão.

5√8-4×√(1/4)+√72-4×√2

Vamos resolver passo a passo:

5√8=5*2√2 - retiramos a parte extraída de baixo da raiz.

4√(1/4)=-4 √1/(√4)= - 4 *1/2= - 2

Se o corpo da raiz for representado por uma fração, geralmente essa fração não mudará se a raiz quadrada do dividendo e do divisor for obtida. Como resultado, obtivemos a igualdade descrita acima.

√72-4√2=√(36×2)- 4√2=2√2

10√2+2√2-2=12√2-2

Aqui está a resposta.

A principal coisa a lembrar é que uma raiz com um expoente par não é extraída de números negativos. Se uma expressão de radical de grau par for negativa, então a expressão é insolúvel.

A adição das raízes só é possível se as expressões radicais coincidirem, pois são termos semelhantes. O mesmo se aplica à diferença.

A adição de raízes com diferentes expoentes numéricos é realizada reduzindo ambos os termos a um grau de raiz comum. Esta lei funciona da mesma forma que a redução a um denominador comum ao adicionar ou subtrair frações.

Se a expressão radical contém um número elevado a uma potência, então esta expressão pode ser simplificada desde que haja um denominador comum entre a raiz e o expoente.

Fórmulas de raiz. propriedades das raízes quadradas.

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Para aqueles que fortemente "não muito..."
E para aqueles que "muito...")

Na lição anterior, descobrimos o que é uma raiz quadrada. É hora de descobrir quais são fórmulas para raízes, o que são propriedades da raiz e o que pode ser feito sobre tudo isso.

Fórmulas raiz, propriedades raiz e regras para ações com raízes- é essencialmente a mesma coisa. Existem surpreendentemente poucas fórmulas para raízes quadradas. O que, claro, agrada! Em vez disso, você pode escrever muitos tipos de fórmulas, mas apenas três são suficientes para um trabalho prático e confiante com raízes. Todo o resto flui desses três. Embora muitos se desviem nas três fórmulas das raízes, sim...

Vamos começar com o mais simples. Lá está ela:

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Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)

você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Olá gatinhos! Da última vez analisamos detalhadamente o que são raízes (se você não lembra, recomendo a leitura). A principal conclusão dessa lição: existe apenas uma definição universal de raízes, que você precisa conhecer. O resto é bobagem e perda de tempo.

Hoje vamos mais longe. Aprenderemos a multiplicar raízes, estudaremos alguns problemas associados à multiplicação (se esses problemas não forem resolvidos, podem se tornar fatais no exame) e praticaremos corretamente. Então, faça um estoque de pipoca, fique à vontade - e vamos começar. :)

Você ainda não fumou, não é?

A lição ficou bem grande, então dividi em duas partes:

1. Primeiro, veremos as regras para multiplicação. A tampa parece indicar: é quando há duas raízes, há um sinal de “multiplicar” entre elas - e queremos fazer algo com isso.
2. Então vamos analisar a situação inversa: há uma grande raiz, e estávamos impacientes para apresentá-la como um produto de duas raízes de forma mais simples. Com que susto é necessário é uma questão separada. Analisaremos apenas o algoritmo.

Para aqueles que mal podem esperar para pular direto para a Parte 2, de nada. Vamos começar com o resto em ordem.

Regra básica de multiplicação

Vamos começar com o mais simples - raízes quadradas clássicas. Os que são denotados por $\sqrt(a)$ e $\sqrt(b)$. Para eles, tudo é geralmente claro:

regra de multiplicação. Para multiplicar uma raiz quadrada por outra, você só precisa multiplicar suas expressões radicais e escrever o resultado sob o radical comum:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Nenhuma restrição adicional é imposta aos números à direita ou à esquerda: se as raízes do multiplicador existirem, o produto também existirá.

Exemplos. Considere quatro exemplos com números de uma só vez:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(alinhar)\]

Como você pode ver, o principal significado desta regra é simplificar expressões irracionais. E se no primeiro exemplo tivéssemos extraído as raízes de 25 e 4 sem novas regras, então a lata começa: $\sqrt(32)$ e $\sqrt(2)$ não contam por si mesmos, mas seu produto acaba sendo um quadrado exato, então a raiz dele é igual a um número racional.

Separadamente, gostaria de observar a última linha. Lá, ambas as expressões radicais são frações. Graças ao produto, muitos fatores se anulam e toda a expressão se transforma em um número adequado.

Claro, nem tudo será sempre tão bonito. Às vezes, haverá uma porcaria completa sob as raízes - não está claro o que fazer com isso e como transformar após a multiplicação. Um pouco mais tarde, quando você começar a estudar equações e desigualdades irracionais, haverá todo tipo de variáveis ​​e funções em geral. E muitas vezes, os compiladores dos problemas estão apenas contando com o fato de que você encontrará alguns termos ou fatores de contratação, após os quais a tarefa será bastante simplificada.

Além disso, não é necessário multiplicar exatamente duas raízes. Você pode multiplicar três de uma vez, quatro - sim, até dez! Isso não vai mudar a regra. Dê uma olhada:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(alinhar)\]

E novamente uma pequena observação sobre o segundo exemplo. Como você pode ver, no terceiro multiplicador, há uma fração decimal sob a raiz - no processo de cálculos, a substituímos por uma regular, após a qual tudo é facilmente reduzido. Então: eu recomendo se livrar das frações decimais em qualquer expressão irracional (ou seja, que contenha pelo menos um ícone de radical). Isso vai lhe poupar muito tempo e nervos no futuro.

Mas foi uma digressão lírica. Agora vamos considerar um caso mais geral - quando o expoente raiz contém um número arbitrário $n$, e não apenas os dois "clássicos".

O caso de um indicador arbitrário

Então, descobrimos as raízes quadradas. E o que fazer com cubos? Ou em geral com raízes de grau arbitrário $n$? Sim, tudo é igual. A regra continua a mesma:

Para multiplicar duas raízes de grau $n$, basta multiplicar suas expressões radicais, após o que o resultado é escrito sob um radical.

Em geral, nada complicado. A menos que o volume de cálculos possa ser maior. Vejamos alguns exemplos:

Exemplos. Calcular produtos:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(alinhar)\]

E novamente atenção para a segunda expressão. Multiplicamos as raízes cúbicas, eliminamos a fração decimal e, como resultado, obtemos o produto dos números 625 e 25 no denominador. Este é um número bastante grande - pessoalmente, não vou calcular imediatamente o que é igual para.

Portanto, simplesmente selecionamos o cubo exato no numerador e denominador e, em seguida, usamos uma das propriedades principais (ou, se você preferir, a definição) da raiz do $n$º grau:

\[\begin(alinhar) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\esquerda| a\direito|. \\ \end(alinhar)\]

Esses "golpes" podem economizar muito tempo em um exame ou teste, então lembre-se:

Não se apresse em multiplicar os números na expressão radical. Primeiro, verifique: e se o grau exato de qualquer expressão estiver “criptografado” lá?

Com toda a obviedade desta observação, devo admitir que a maioria dos alunos despreparados não vê os graus exatos. Em vez disso, eles multiplicam tudo à frente e depois se perguntam: por que eles conseguiram números tão brutais? :)

No entanto, tudo isso é brincadeira de criança comparado ao que estudaremos agora.

Multiplicação de raízes com expoentes diferentes

Bem, agora podemos multiplicar raízes com os mesmos expoentes. E se as pontuações forem diferentes? Diga, como você multiplica um $\sqrt(2)$ comum por alguma porcaria como $\sqrt(23)$? É mesmo possível fazer isso?

Sim, é claro que você pode. Tudo é feito de acordo com esta fórmula:

Regra de multiplicação de raízes. Para multiplicar $\sqrt[n](a)$ por $\sqrt[p](b)$, basta fazer a seguinte transformação:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

No entanto, esta fórmula só funciona se expressões radicais são não-negativas. Esta é uma observação muito importante, à qual retornaremos um pouco mais adiante.

Por enquanto, vejamos alguns exemplos:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(alinhar)\]

Como você pode ver, nada complicado. Agora vamos descobrir de onde veio o requisito de não negatividade e o que acontecerá se o violarmos. :)

É fácil multiplicar raízes.

Por que as expressões radicais têm que ser não negativas?

Claro, você pode se tornar um professor de escola e citar um livro com uma aparência inteligente:

A exigência de não negatividade está associada a diferentes definições de raízes de graus pares e ímpares (respectivamente, seus domínios de definição também são diferentes).

Bem, ficou mais claro? Pessoalmente, quando li essa bobagem na 8ª série, entendi por mim mesmo algo assim: “A exigência de não negatividade está associada a *#&^@(*#@^#)~%” - em suma, eu não entendia merda naquela época. :)

Então agora vou explicar tudo de uma forma normal.

Primeiro, vamos descobrir de onde vem a fórmula de multiplicação acima. Para fazer isso, deixe-me lembrá-lo de uma propriedade importante da raiz:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Em outras palavras, podemos elevar com segurança a expressão raiz para qualquer potência natural $k$ - neste caso, o índice raiz terá que ser multiplicado pela mesma potência. Portanto, podemos reduzir facilmente quaisquer raízes a um indicador comum, após o qual multiplicamos. É daí que vem a fórmula da multiplicação:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot((b)^(n)))\]

Mas há um problema que limita severamente a aplicação de todas essas fórmulas. Considere este número:

De acordo com a fórmula dada, podemos adicionar qualquer grau. Vamos tentar adicionar $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Removemos o menos precisamente porque o quadrado queima o menos (como qualquer outro grau par). E agora vamos fazer a transformação inversa: "reduzir" os dois no expoente e no grau. Afinal, qualquer igualdade pode ser lida tanto da esquerda para a direita quanto da direita para a esquerda:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](uma); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(alinhar)\]

Mas então algo louco acontece:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Isso não pode ser porque $\sqrt(-5) \lt 0$ e $\sqrt(5) \gt 0$. Isso significa que para potências pares e números negativos, nossa fórmula não funciona mais. Depois disso temos duas opções:

1. Lutar contra a parede para afirmar que a matemática é uma ciência estúpida, onde “há algumas regras, mas isso é impreciso”;
2. Introduza restrições adicionais sob as quais a fórmula se tornará 100% funcional.

Na primeira opção, teremos que capturar constantemente casos "não funcionais" - isso é difícil, longo e geralmente fu. Portanto, os matemáticos preferiram a segunda opção. :)

Mas não se preocupe! Na prática, essa restrição não afeta os cálculos de forma alguma, porque todos os problemas descritos dizem respeito apenas às raízes de um grau ímpar, e os menos podem ser retirados deles.

Portanto, formulamos outra regra que se aplica em geral a todas as ações com raízes:

Antes de multiplicar as raízes, certifique-se de que as expressões radicais sejam não negativas.

Exemplo. No número $\sqrt(-5)$, você pode tirar o menos do sinal da raiz - então tudo ficará bem:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Sinta a diferença? Se você deixar um menos abaixo da raiz, quando a expressão radical for elevada ao quadrado, ela desaparecerá e a porcaria começará. E se você primeiro tirar um menos, poderá até aumentar / remover um quadrado até ficar azul no rosto - o número permanecerá negativo. :)

Assim, a maneira mais correta e confiável de multiplicar as raízes é a seguinte:

1. Remova todos os pontos negativos sob os radicais. Os menos estão apenas nas raízes da multiplicidade ímpar - eles podem ser colocados na frente da raiz e, se necessário, reduzidos (por exemplo, se houver dois desses menos).
2. Realize a multiplicação de acordo com as regras discutidas acima na lição de hoje. Se os índices das raízes forem iguais, basta multiplicar as expressões das raízes. E se forem diferentes, usamos a fórmula maligna \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n)))\].
3. 3. Gostamos do resultado e das boas notas. :)

Nós iremos? Vamos praticar?

Exemplo 1. Simplifique a expressão:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(alinhar)\]

Esta é a opção mais simples: os indicadores das raízes são iguais e ímpares, o problema está apenas no menos do segundo multiplicador. Nós suportamos esse nafig negativo, após o qual tudo é facilmente considerado.

Exemplo 2. Simplifique a expressão:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( alinhar)\]

Aqui, muitos ficariam confusos com o fato de que a saída acabou sendo um número irracional. Sim, acontece: não conseguimos nos livrar completamente da raiz, mas pelo menos simplificamos significativamente a expressão.

Exemplo 3. Simplifique a expressão:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left(((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

É para isso que gostaria de chamar a sua atenção. Há dois pontos aqui:

1. Sob a raiz não está um número ou grau específico, mas a variável $a$. À primeira vista, isso é um pouco incomum, mas na realidade, ao resolver problemas matemáticos, na maioria das vezes você terá que lidar com variáveis.
2. No final, conseguimos “reduzir” o expoente raiz e o grau na expressão radical. Isso acontece com bastante frequência. E isso significa que foi possível simplificar significativamente os cálculos se você não usar a fórmula principal.

Por exemplo, você poderia fazer isso:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a))^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\end(alinhar)\]

De fato, todas as transformações foram realizadas apenas com o segundo radical. E se você não pintar detalhadamente todas as etapas intermediárias, no final a quantidade de cálculos diminuirá significativamente.

Na verdade, já encontramos uma tarefa semelhante acima ao resolver o exemplo $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Agora pode ser escrito muito mais fácil:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(alinhar)\]

Bem, descobrimos a multiplicação das raízes. Agora considere a operação inversa: o que fazer quando há um trabalho sob a raiz?

Em matemática, qualquer ação tem seu próprio par oposto - em essência, essa é uma das manifestações da lei hegeliana da dialética: "a unidade e a luta dos opostos". Uma das ações desse “par” visa aumentar o número e a outra, o oposto disso, é diminuir. Por exemplo, a ação oposta à adição é a subtração e a divisão corresponde à multiplicação. Elevar a uma potência também tem seu próprio par dialético oposto. É sobre extração de raízes.

Extrair a raiz de tal e tal grau de um número significa calcular qual número precisa ser elevado à potência correspondente para terminar com esse número. Os dois graus têm seus próprios nomes separados: o segundo grau é chamado de "quadrado" e o terceiro - o "cubo". Assim, é agradável chamar as raízes dessas potências de raiz quadrada e raiz cúbica. Ações com raízes cúbicas são um tópico para uma discussão separada, mas agora vamos falar sobre a adição de raízes quadradas.

Vamos começar com o fato de que, em alguns casos, é mais fácil extrair raízes quadradas primeiro e depois adicionar os resultados. Suponha que precisamos encontrar o valor de tal expressão:

Afinal, não é nada difícil calcular que a raiz quadrada de 16 é 4 e de 121 - 11. Portanto,

√16+√121=4+11=15

No entanto, este é o caso mais simples - aqui estamos falando de quadrados completos, ou seja, sobre os números que são obtidos ao elevar os números inteiros ao quadrado. Mas isso nem sempre é o caso. Por exemplo, o número 24 não é um quadrado perfeito (você não pode encontrar um número inteiro que, quando elevado à segunda potência, resultaria em 24). O mesmo se aplica a um número como 54... E se precisarmos somar as raízes quadradas desses números?

Nesse caso, obteremos na resposta não um número, mas outra expressão. O máximo que podemos fazer aqui é simplificar ao máximo a expressão original. Para fazer isso, você terá que tirar os fatores abaixo da raiz quadrada. Vamos ver como isso é feito usando os números mencionados como exemplo:

Para começar, vamos fatorar 24 - de tal forma que um deles possa ser facilmente tomado como raiz quadrada (ou seja, para que seja um quadrado perfeito). Existe um número - este é 4:

Agora vamos fazer o mesmo com 54. Em sua composição, esse número será 9:

Assim, obtemos o seguinte:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

Agora vamos extrair as raízes do que podemos extraí-las: 2*√6+3*√6

Há um fator comum aqui, que podemos tirar dos colchetes:

(2+3)* √6=5*√6

Este será o resultado da adição - nada mais pode ser extraído aqui.

É verdade que você pode recorrer à ajuda de uma calculadora - no entanto, o resultado será aproximado e com um grande número de casas decimais:

√6=2,449489742783178

Arredondando gradualmente para cima, obtemos aproximadamente 2,5. Se ainda quisermos levar a solução do exemplo anterior à sua conclusão lógica, podemos multiplicar esse resultado por 5 - e obtemos 12,5. Um resultado mais preciso com tais dados iniciais não pode ser obtido.

Adição e subtração de raízes- um dos "pedaços de tropeço" mais comuns para quem faz um curso de matemática (álgebra) no ensino médio. No entanto, aprender a somar e subtrair corretamente é muito importante, pois exemplos de soma ou diferença de raízes estão incluídos no programa do Exame Estadual Unificado básico na disciplina "matemática".

Para dominar a solução de tais exemplos, você precisa de duas coisas - entender as regras e ganhar prática. Tendo resolvido uma ou duas dúzias de exemplos típicos, o aluno levará essa habilidade ao automatismo e não terá nada a temer no exame. Recomenda-se começar a dominar as operações aritméticas com adição, porque adicioná-las é um pouco mais fácil do que subtraí-las.

O que é uma raiz

A maneira mais fácil de explicar isso é com o exemplo de uma raiz quadrada. Em matemática, existe um termo bem estabelecido "quadrado". "Quadrado" significa multiplicar um número específico por ele mesmo uma vez.. Por exemplo, se você fizer 2 ao quadrado, terá 4. Se fizer 7 ao quadrado, terá 49. O quadrado de 9 é 81. Então a raiz quadrada de 4 é 2, de 49 é 7 e de 81 é 9.

Como regra, o ensino deste tópico em matemática começa com raízes quadradas. Para determiná-lo imediatamente, um estudante do ensino médio deve saber a tabuada de multiplicação de cor. Para quem não conhece bem essa tabela, é preciso usar dicas. Normalmente, o processo de extrair a raiz quadrada de um número é dado na forma de uma tabela nas capas de muitos cadernos de matemática escolar.

As raízes são dos seguintes tipos:

• quadrado;
• cúbico (ou o chamado terceiro grau);
• quarto grau;
• quinto grau.

Regras de adição

Para resolver com sucesso um exemplo típico, deve-se ter em mente que nem todos os números de raiz podem ser empilhados uns com os outros. Para ser capaz de colocá-los juntos, eles devem ser trazidos para um único padrão. Se isso não for possível, então o problema não tem solução. Tais problemas também são frequentemente encontrados em livros didáticos de matemática como uma espécie de armadilha para os alunos.

A adição não é permitida em atribuições quando as expressões radicais diferem umas das outras. Isso pode ser ilustrado com um exemplo ilustrativo:

• o aluno se depara com a tarefa: somar a raiz quadrada de 4 e de 9;
• um aluno inexperiente que não conhece a regra geralmente escreve: "raiz de 4 + raiz de 9 \u003d raiz de 13".
• é muito fácil provar que esta maneira de resolver está errada. Para fazer isso, você precisa encontrar a raiz quadrada de 13 e verificar se o exemplo está resolvido corretamente;
• usando uma microcalculadora, você pode determinar que é aproximadamente 3,6. Agora resta verificar a solução;
• raiz de 4=2 e de 9=3;
• A soma de dois e três é cinco. Assim, este algoritmo de solução pode ser considerado incorreto.

Se as raízes têm o mesmo grau, mas expressões numéricas diferentes, é retirado dos colchetes e a soma de duas expressões radicais. Assim, já é extraído desse valor.

Algoritmo de adição

Para resolver corretamente o problema mais simples, é necessário:

1. Determine o que exatamente requer adição.
2. Descubra se é possível somar valores entre si, guiados pelas regras existentes na matemática.
3. Se eles não podem ser adicionados, você precisa transformá-los de tal forma que eles possam ser adicionados.
4. Tendo realizado todas as transformações necessárias, é necessário realizar a adição e anotar a resposta finalizada. A adição pode ser feita mentalmente ou com uma calculadora, dependendo da complexidade do exemplo.

O que são raízes semelhantes

Para resolver corretamente um exemplo de adição, é necessário, antes de tudo, pensar em como ele pode ser simplificado. Para fazer isso, você precisa ter um conhecimento básico do que é similaridade.

A capacidade de identificar os semelhantes ajuda a resolver rapidamente o mesmo tipo de exemplos de adição, trazendo-os de forma simplificada. Para simplificar um exemplo típico de adição, você precisa:

1. Encontre os semelhantes e atribua-os a um grupo (ou vários grupos).
2. Reescreva o exemplo existente de forma que as raízes que tenham o mesmo indicador sigam umas às outras claramente (isso é chamado de "agrupamento").
3. Em seguida, você deve escrever a expressão novamente, desta vez de forma que as semelhantes (que tenham o mesmo indicador e a mesma raiz) também se sigam.

Depois disso, um exemplo simplificado geralmente é fácil de resolver.

Para resolver corretamente qualquer exemplo de adição, você precisa entender claramente as regras básicas de adição e também saber o que é uma raiz e como ela acontece.

Às vezes, essas tarefas parecem muito complicadas à primeira vista, mas geralmente são facilmente resolvidas agrupando outras semelhantes. A coisa mais importante é a prática, e então o aluno começará a "clicar em tarefas como nozes". A adição de raiz é um dos ramos mais importantes da matemática, portanto, os professores devem alocar tempo suficiente para estudá-la.

Vídeo

Este vídeo irá ajudá-lo a entender as equações com raízes quadradas.