Antidarinis ir integralus pristatymas. Pamokos "Neapibrėžtas integralas. Skaičiavimo metodai" pristatymas. Daliniai prieaugiai ir dalinės išvestinės

Primityvus. Diferencialinio skaičiavimo užduotis yra rasti jo išvestinę tam tikros funkcijos atžvilgiu. Integralinio skaičiavimo uždavinys: rasti funkciją, žinant jos išvestinę. Funkcija F(x) vadinama funkcijos f(x) antiderivatine tam tikrame intervale, jei bet kuriam x iš šio intervalo lygybė F ʹ (x)=f(x) yra teisinga.

Teorema. Jei funkcija F(x) yra funkcijos f(x) antidarinė tam tikrame intervale, tai visų šios funkcijos antidarinių aibė turi formą F(x)+C, kur C R. y x 0 Geometriškai: F( x)+C yra šeimos kreivės, gautos iš kiekvienos iš jų lygiagrečiai perkeliant išilgai OS ašies. C integralo kreivė

2 pavyzdys. Raskite visas antidarines funkcijas f(x)=2x ir pavaizduokite jas geometriškai. y x

Integrandas - integrandas - neapibrėžto integralo x ženklas - integravimo kintamasis F (x) + C - visų antidarinių aibė C - integravimo konstanta Antidarinės funkcijos radimo procesas vadinamas integracija, o matematikos skyrius. vadinamas integraliniu skaičiavimu.

Neapibrėžtinio integralo savybės Neapibrėžtinio integralo diferencialas lygus integrandui, o neapibrėžtinio integralo išvestinė lygi integrandui:

Pagrindiniai integravimo metodai. Tiesioginės integracijos metodas. Tiesioginė integracija – tai integralų skaičiavimo metodas, kai jie redukuojami į lentelinius, pritaikant jiems pagrindines neapibrėžto integralo savybes. Šiuo atveju integrandas paprastai transformuojamas tinkamu būdu.

Anoshina O.V.

Pagrindinė literatūra

1. V. S. Šipačiovas, Aukštoji matematika. Pagrindinis kursas: vadovėlis ir
seminaras bakalaurams [Rusijos Federacijos švietimo ministerijos pažymėjimas] / V. S.
Šipačiovas; red. A. N. Tichonova. – 8-asis leidimas, pataisytas. ir papildomas Maskva: Yurayt, 2015. - 447 p.
2. V. S. Šipačiovas, Aukštoji matematika. Visas kursas: vadovėlis
už akad. Bakalauro laipsnis [UMO pažymėjimas] / V. S. Šipačiovas; red. A.
N. Tichonova. - 4-asis leidimas, kun. ir papildomas - Maskva: Yurayt, 2015. - 608
Su
3. Danko P.E., Popovas A.G., Koževnikova T..Ya. aukštoji matematika
pratybose ir užduotyse. [Tekstas] / P.E. Danko, A.G. Popovas, T.Ya.
Koževnikovas. 2 val. - M .: Aukštoji mokykla, 2007. - 304 + 415c.

Ataskaitų teikimas

1.
Testas. Atliekama pagal:
Egzaminų atlikimo užduotys ir gairės
disciplinoje "TAIKOMOJI MATEMATIKA", Jekaterinburgas, FGAOU
VO „Rusijos valstybinė profesinė pedagogika
Universitetas“, 2016 – 30 m.
Pasirinkite valdymo darbo parinktį pagal paskutinį skaičiaus skaitmenį
rekordų knyga.
2.
Egzaminas

Neapibrėžtas integralas, jo savybės ir skaičiavimas Antidarinis ir neapibrėžtas integralas

Apibrėžimas. Iškviečiama funkcija F x
antidarinė funkcija f x apibrėžta ant
tam tikras intervalas, jei F x f x for
kiekvienas x iš šio intervalo.
Pavyzdžiui, cos x funkcija yra
antidarinė funkcija sin x , kadangi
cos x sin x .

Akivaizdu, kad jei F x yra antidarinys
funkcijos f x , tada F x C , kur C yra tam tikra konstanta, taip pat yra
antidarinė funkcija f x .
Jei F x yra koks nors antidarinys
funkcija f x , tada bet kuri formos funkcija
F x F x C taip pat yra
antidarinė funkcija f x ir bet kuri
primityvus gali būti pavaizduotas šia forma.

Apibrėžimas. Viso visuma
funkcijos f x antidariniai,
apibrėžta kai kuriose
tarpais vadinamas
neapibrėžtas integralas
funkcijos f x šiame intervale ir
žymimas f x dx .

Jei F x yra tam tikra funkcijos antidarinė
f x , tada jie rašo f x dx F x C , nors
teisingiau būtų rašyti f x dx F x C .
Mes, pagal nusistovėjusią tradiciją, rašysime
f x dx F x C .
Taigi tas pats simbolis
f x dx žymės kaip visumą
funkcijos f x antidarinių rinkinys,
ir bet kuris šio rinkinio elementas.

Integralios savybės

Neapibrėžtinio integralo išvestinė yra
integrandas ir jo skirtumas nuo integrando. Tikrai:
1. (f (x) dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x)dx (f (x)dx) dx f (x)dx.

Integralios savybės

3. Neapibrėžtas integralas iš
nuolatinis diferencialas (x)
diferencijuojamoji funkcija yra lygi pati sau
ši funkcija iki konstantos:
d (x) (x) dx (x) C,
kadangi (x) yra (x) antidarinys.

Integralios savybės

4. Jei funkcijos f1 x ir f 2 x turi
antidariniai, tada funkcija f1 x f 2 x
taip pat turi antidarinį, ir
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx Kf x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .

1. dx x C .
a 1
x
2. x a dx
C, (a 1).
a 1
dx
3. ln x C .
x
x
a
4.a x dx
C.
ln a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8,2 ctgx C .
nuodėmė x
dx
9. 2tgx C .
cos x
dx
arctgx C.
10.
2
1 x

Neapibrėžtų integralų lentelė

11.
dx
arcsin x C .
1x2
dx
1
x
12. 2 2 arctan C .
a
a
a x
13.
14.
15.
dx
a2x2
x
arcsin C..
a
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
dx
1
a x
a 2 x 2 2a log a x C .
dx
16.
x2 a
log x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
19.
20.
dx
ch 2 x thx C .
dx
cthx C.
2
sh x

Diferencialų savybės

Integruojant patogu naudotis
savybės: 1
1. dx d (ax)
a
1
2. dx d (ax b),
a
1 2
3.xdxdx,
2
1 3
2
4. x dx dx .
3

Pavyzdžiai

Pavyzdys. Apskaičiuokite cos 5xdx.
Sprendimas. Integralų lentelėje randame
cos xdx sin x C .
Paverskime šį integralą į lentelę,
pasinaudojant tuo, kad d ax adx .
Tada:
d5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5x
5
5
1
= sin 5 x C .
5

Pavyzdžiai

Pavyzdys. Apskaičiuokite x
3 x 1 dx.
Sprendimas. Kadangi po integraliu ženklu
tada yra keturių narių suma
išplėskite integralą kaip keturių sumą
integralai:
2
3
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx .
x3
x4x2
3
x C
3
4
2

Kintamojo tipo nepriklausomumas

Skaičiuojant integralus, patogu
naudokite šias savybes
integralai:
Jei f x dx F x C , tada
f x b dx F x b C .
Jei f x dx F x C , tada
1
f ax b dx F ax b C .
a

Pavyzdys

Apskaičiuokite
1
6
2
3
x
dx
2
3
x
C
.
3 6
5

Integravimo metodai Integravimas dalimis

Šis metodas pagrįstas formule udv uv vdu .
Integravimo dalimis metodu paimami šie integralai:
a) x n sin xdx, kur n 1,2...k;
b) x n e x dx , kur n 1,2...k ;
c) x n arctgxdx , kur n 0, 1, 2,... k . ;
d) x n ln xdx , kur n 0, 1, 2,... k .
Skaičiuodami integralus a) ir b) įveskite
n 1
žymėjimas: x n u , tada du nx dx , ir, pvz
sin xdx dv , tada v cos x .
Skaičiuodami integralus c), d) pažymėkite u funkciją
arctgx , ln x , o dv atveju jie imami x n dx .

Pavyzdžiai

Pavyzdys. Apskaičiuokite x cos xdx .
Sprendimas.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

Pavyzdžiai

Pavyzdys. Apskaičiuoti
x ln xdx
dx
u ln x, du
x
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
ln x
=
2
2 x
x2
1
x2
1x2
ln x xdx
ln x
C.
=
2
2
2
2 2

Kintamasis pakeitimo būdas

Tegul reikia rasti f x dx , ir
tiesiogiai pasiimti primityvų
f x mes negalime, bet mes tai žinome
ji egzistuoja. Dažnai randama
antiderivatyvas įvedant naują kintamąjį,
pagal formulę
f x dx f t t dt , kur x t ir t yra nauja
kintamasis

Kvadratinį trinarį turinčių funkcijų integravimas

Apsvarstykite integralą
axb
dx ,
x px q
kuriame yra kvadratinis trinalis in
integrando vardiklis
posakius. Toks integralas taip pat imamas
kintamųjų keitimo metodas,
anksčiau identifikuotas
vardiklis yra visas kvadratas.
2

Pavyzdys

Apskaičiuoti
dx
.
x4x5
Sprendimas. Paverskime x 2 4 x 5,
2
parenkant pilną kvadratą pagal formulę a b 2 a 2 2ab b 2 .
Tada gauname:
x2 4x5 x2 2x2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x4x5
t1
arctgt C arctg x 2 C.

Pavyzdys

Rasti
1 x
1 x
2
dx
tdt
1 t
2
x t, x t 2,
dx2tdt
2
t2
1 t
2
dt
1 t
1 t
d (t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
log(t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt

Apibrėžtinis integralas, pagrindinės jo savybės. Niutono-Leibnizo formulė. Apibrėžtinio integralo taikymai.

Apibrėžtinio integralo samprata veda prie
kreivinės linijos ploto radimo problema
trapecijos formos.
Leiskite duoti tam tikrą intervalą
tolydžioji funkcija y f (x) 0
Užduotis:
Nubraižykite jos grafiką ir raskite F figūros plotą,
apribotas šios kreivės, dvi tiesės x = a ir x
= b, o iš apačios - abscisių ašies segmentas tarp taškų
x = a ir x = b.

Figūra aABb vadinama
kreivinė trapecija

Apibrėžimas

b
f(x)dx
Pagal apibrėžtą integralą
a
nuo duotosios tolydžios funkcijos f(x) įjungta
šis segmentas yra suprantamas
atitinkamą prieaugį
primityvus, tai yra
F (b) F (a) F (x) /
b
a
Skaičiai a ir b yra integracijos ribos,
yra integracijos intervalas.

Taisyklė:

Apibrėžiamasis integralas yra lygus skirtumui
antiderivatinio integrando vertės
viršutinės ir apatinės ribos funkcijos
integracija.
Pristatome skirtumo žymėjimą
b
F (b) F (a) F (x) / a
b
f (x) dx F (b) F (a)
a
Niutono-Leibnizo formulė.

Pagrindinės apibrėžtojo integralo savybės.

1) Apibrėžtinio integralo reikšmė nepriklauso nuo
integracinio kintamojo žymėjimas, t.y.
b
b
a
a
f (x)dx f (t)dt
kur x ir t yra bet kurios raidės.
2) apibrėžtasis integralas su tuo pačiu
lauke
integracija lygi nuliui
a
f (x) dx F (a) F (a) 0
a

3) Pertvarkant integracijos ribas
apibrėžtasis integralas apverčia savo ženklą
b
a
f (x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x)dx
a
b
(adityvumo savybė)
4) Jei intervalas padalintas į baigtinį skaičių
daliniai intervalai, tada apibrėžtasis integralas,
perimtas intervalas yra lygus apibrėžtųjų sumai
integralai perimti visus jo dalinius intervalus.
b
c
b
f(x)dx f(x)dx
c
a
a
f(x)dx

5) Galima paimti pastovų daugiklį
apibrėžtojo integralo ženklui.
6) Algebros apibrėžtasis integralas
baigtinio skaičiaus ištisinių sumos
funkcijos yra lygios tai pačiai algebrinei
šių apibrėžtųjų integralų suma
funkcijas.

3. Kintamojo kaita apibrėžtajame integrale.

3. Kintamojo pakeitimas tam tikru
integralas.
b
f (x) dx f (t) (t) dt
a
a(), b(), (t)
Kur
fortas[; ] , funkcijos (t) ir (t) yra nuolat įjungtos;
5
Pavyzdys:
1
=
x 1dx
=
x 15
t04
x 1 t
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3

Netinkami integralai.

Netinkami integralai.
Apibrėžimas. Tegul funkcija f(x) yra apibrėžta
begalinis intervalas , kur b< + . Если
egzistuoja
b
lim
f(x)dx,
b
a
tada ši riba vadinama netinkama
funkcijos f(x) intervale integralas
}