Mechanismy teoretické mechaniky. Základní mechanika pro figuríny. Úvod. Princip možných pohybů

20. vyd. - M.: 2010.- 416 s.

Kniha nastiňuje základy mechaniky hmotného bodu, soustavy hmotných bodů a pevného tělesa ve svazku odpovídajícím programům technických univerzit. Je uvedeno mnoho příkladů a úkolů, k jejichž řešení jsou připojeny příslušné pokyny. Pro studenty denních i korespondenčních technických vysokých škol.

Formát: pdf

Velikost: 14 MB

Sledujte, stahujte: drive.google

OBSAH
Předmluva ke třináctému vydání 3
Úvod 5
ODDÍL PRVNÍ STATIKA PEVNÉHO STAVU
Kapitola I. Základní pojmy úvodní ustanovení článků 9
41. Absolutně tuhé tělo; platnost. Úkoly statiky 9
12. Prvotní ustanovení statiky » 11
$ 3. Spoje a jejich reakce 15
Kapitola II. Složení sil. Soustava konvergujících sil 18
§4. Geometricky! Způsob spojování sil. Výsledek konvergujících sil, rozklad sil 18
f 5. Průměty sil na osu a do roviny, Analytická metoda pro nastavení a sčítání sil 20
16. Rovnováha soustavy konvergujících sil_. . . 23
17. Řešení úloh statiky. 25
Kapitola III. Moment síly kolem středu. Výkonový pár 31
i 8. Moment síly kolem středu (nebo bodu) 31
| 9. Pár sil. pár okamžiků 33
f 10*. Věty o ekvivalenci a párovém sčítání 35
Kapitola IV. Přivedení systému sil do středu. Podmínky rovnováhy... 37
f 11. Věta o paralelním přenosu sil 37
112. Přivedení soustavy sil do daného centra - . .38
§ 13. Podmínky pro rovnováhu soustavy sil. Věta o momentu výslednice 40
Kapitola V. Plochá soustava sil 41
§ 14. Algebraické momenty síly a páry 41
115. Redukce ploché soustavy sil na nejjednodušší formu .... 44
§ 16. Rovnováha ploché soustavy sil. Případ paralelních sil. 46
§ 17. Řešení problémů 48
118. Bilance soustav těles 63
§ 19*. Staticky určené a staticky neurčité soustavy těles (konstrukce) 56"
f 20*. Definice vnitřních sil. 57
§ 21*. Rozložené síly 58
E22*. Výpočet plochých vazníků 61
Kapitola VI. Tření 64
! 23. Zákony kluzného tření 64
: 24. Hrubé vazebné reakce. Úhel tření 66
: 25. Rovnováha za přítomnosti tření 66
(26*. Tření závitu na válcové ploše 69
1 27*. Valivé tření 71
Kapitola VII. Prostorový systém sil 72
§28. Moment síly kolem osy. Výpočet hlavního vektoru
a hlavní moment soustavy sil 72
§ 29*. Redukce prostorového systému sil na nejjednodušší formu 77
§třicet. Rovnováha libovolného prostorového systému sil. Případ paralelních sil
Kapitola VIII. Těžiště 86
§31. Střed paralelních sil 86
§ 32. Silové pole. Těžiště tuhého tělesa 88
§ 33. Souřadnice těžišť stejnorodých těles 89
§ 34. Metody určování souřadnic těžišť těles. 90
§ 35. Těžiště některých stejnorodých těles 93
DRUHÁ ČÁST KINEMATIKA BODOVÉHO A TUHÉHO TĚLESA
Kapitola IX. Kinematika bodů 95
§ 36. Úvod do kinematiky 95
§ 37. Metody pro upřesnění pohybu bodu. . 96
§38. Vektor bodové rychlosti,. 99
§ 39
§40. Určení rychlosti a zrychlení bodu souřadnicovou metodou zadání pohybu 102
§41. Řešení úloh bodové kinematiky 103
§ 42. Osy přirozeného trojstěnu. Číselná hodnota rychlosti 107
§ 43. Tečné a normálové zrychlení bodu 108
§44. Některé speciální případy pohybu bodu v softwaru
§45. Grafy pohybu, rychlosti a zrychlení bodu 112
§ 46. Řešení problémů< 114
§47*. Rychlost a zrychlení bodu v polárních souřadnicích 116
Kapitola X. Translační a rotační pohyby tuhého tělesa. . 117
§48. Translační pohyb 117
§ 49. Rotační pohyb tuhého tělesa kolem osy. Úhlová rychlost a úhlové zrychlení 119
§50. Rovnoměrné a jednotné otáčení 121
§51. Rychlosti a zrychlení bodů rotujícího tělesa 122
Kapitola XI. Rovinně paralelní pohyb tuhého tělesa 127
§52. Rovnice planparalelního pohybu (pohyb rovinného útvaru). Rozklad pohybu na translační a rotační 127
§53*. Určení trajektorií bodů roviny obrázek 129
§54. Určení rychlostí bodů na rovině obrázek 130
§ 55. Věta o průmětech rychlostí dvou bodů tělesa 131
§ 56. Stanovení rychlostí bodů rovinného útvaru pomocí okamžitého středu rychlostí. Koncept těžišť 132
§57. Řešení problémů 136
§58*. Určení zrychlení bodů roviny obrázek 140
§59*. Okamžité centrum zrychlení "*"*
Kapitola XII*. Pohyb tuhého tělesa kolem pevného bodu a pohyb volného tuhého tělesa 147
§ 60. Pohyb tuhého tělesa s jedním pevným bodem. 147
§61. Kinematické Eulerovy rovnice 149
§62. Rychlosti a zrychlení bodů těla 150
§ 63. Obecný případ pohybu volného tuhého tělesa 153
Kapitola XIII. Složitý pohyb bodu 155
§ 64. Pohyby relativní, obrazné a absolutní 155
§ 65, Věta o sčítání rychlosti » 156
§66. Věta o sčítání zrychlení (Coriolsova věta) 160
§67. Řešení problémů 16*
Kapitola XIV*. Složitý pohyb tuhého tělesa 169
§68. Přidání translačních pohybů 169
§69. Přidání rotací kolem dvou rovnoběžných os 169
§70. Válcová ozubená kola 172
§ 71. Přidání rotací kolem protínajících se os 174
§72. Sčítání translačních a rotačních pohybů. Pohyb šroubu 176
ODDÍL TŘETÍ DYNAMIKA BODU
Kapitola XV: Úvod do dynamiky. Zákony dynamiky 180
§ 73. Základní pojmy a definice 180
§ 74. Zákony dynamiky. Problémy dynamiky hmotného bodu 181
§ 75. Soustavy jednotek 183
§76. Základní druhy sil 184
Kapitola XVI. Diferenciální pohybové rovnice bodu. Řešení úloh dynamiky bodů 186
§ 77. Diferenciální rovnice, pohyby hmotného bodu č. 6
§ 78. Řešení prvního problému dynamiky (určení sil z daného pohybu) 187
§ 79. Řešení hlavního problému dynamiky při přímočarém pohybu bodu 189
§ 80. Příklady řešení problémů 191
§81*. Pád tělesa do odolného prostředí (ve vzduchu) 196
§82. Řešení hlavního problému dynamiky s křivočarým pohybem bodu 197
Kapitola XVII. Obecné věty o dynamice bodů 201
§83. Velikost pohybu bodu. Force Impulse 201
§ S4. Věta o změně hybnosti bodu 202
§ 85. Věta o změně momentu hybnosti bodu (věta o momentech) "204
§86*. Pohyb pod působením centrální síly. Právo oblastí.. 266
§ 8-7. Silová práce. Síla 208
§88. Příklady výpočtu práce 210
§89. Věta o změně kinetické energie bodu. "... 213J
Kapitola XVIII. Nesvobodný a relativní pohyb bodu 219
§90. Nesvobodný pohyb bodu. 219
§91. Relativní pohyb bodu 223
§ 92. Vliv rotace Země na rovnováhu a pohyb těles... 227
Oddíl 93*. Odchylka bodu dopadu od vertikály v důsledku rotace Země „230
Kapitola XIX. Přímé kolísání bodu. . . 232
§ 94. Volné vibrace bez zohlednění sil odporu 232
§ 95. Volné kmity s viskózním odporem (tlumené kmity) 238
§96. Nucené vibrace. Rezonance 241
Kapitola XX*. Pohyb tělesa v gravitačním poli 250
§ 97. Pohyb vrženého tělesa v gravitačním poli Země „250
§98. Umělé družice Země. Eliptické trajektorie. 254
§ 99. Pojem beztíže." Místní referenční systémy 257
ČTVRTÁ ČÁST DYNAMIKA SYSTÉMU A TUHÉHO TĚLESA
G i a v a XXI. Úvod do systémové dynamiky. momenty setrvačnosti. 263
§ 100. Mechanický systém. Síly vnější a vnitřní 263
§ 101. Hmotnost soustavy. Těžiště 264
§ 102. Moment setrvačnosti tělesa kolem osy. Poloměr setrvačnosti. . 265
$ 103. Momenty setrvačnosti tělesa kolem rovnoběžných os. Huygensova věta 268
§ 104*. odstředivé momenty setrvačnosti. Pojmy o hlavních osách setrvačnosti těla 269
105 $*. Moment setrvačnosti tělesa kolem libovolné osy. 271
Hlava XXII. Věta o pohybu těžiště soustavy 273
$ 106. Diferenciální rovnice pohybu soustavy 273
§ 107. Věta o pohybu těžiště 274
$ 108. Zákon zachování pohybu těžiště 276
§ 109. Řešení problémů 277
Hlava XXIII. Věta o změně množství pohyblivého systému. . 280
$ ALE. Počet pohybových systémů 280
§111. Věta o změně hybnosti 281
§ 112. Zákon zachování hybnosti 282
113 $*. Aplikace věty na pohyb kapaliny (plynu) 284
§ 114*. Těleso s proměnlivou hmotností. Raketový pohyb 287
Gdawa XXIV. Věta o změně momentu hybnosti soustavy 290
§ 115. Hlavní moment veličin pohybu soustavy 290
$ 116. Věta o změně hlavního momentu hybnosti soustavy (teorém momentů) 292
117 dolarů. Zákon zachování hlavního momentu hybnosti. . 294
118 $. Řešení problémů 295
119 $*. Aplikace momentové věty na pohyb kapaliny (plynu) 298
§ 120. Podmínky rovnováhy pro mechanickou soustavu 300
Hlava XXV. Věta o změně kinetické energie soustavy. . 301.
§ 121. Kinetická energie soustavy 301
122 dolarů. Některé případy výpočtu práce 305
$ 123. Věta o změně kinetické energie soustavy 307
124 $. Řešení problémů 310
125 $*. Smíšené úkoly "314
$ 126. Potenciální silové pole a silová funkce 317
127 $, potenciální energie. Zákon zachování mechanické energie 320
Hlava XXVI. "Aplikace obecných teorémů na dynamiku tuhého tělesa 323
12 $&. Rotační pohyb tuhého tělesa kolem pevné osy ". 323"
129 $. Fyzické kyvadlo. Experimentální stanovení momentů setrvačnosti. 326
130 dolarů. Rovinně paralelní pohyb tuhého tělesa 328
131 $*. Elementární teorie gyroskopu 334
132 $*. Pohyb tuhého tělesa kolem pevného bodu a pohyb volného tuhého tělesa 340
Hlava XXVII. d'Alembertův princip 344
133 $. d'Alembertův princip pro bod a mechanický systém. . 344
$ 134. Hlavní vektor a hlavní moment setrvačných sil 346
135 $. Řešení problémů 348
136 $*, Didemické reakce působící na osu rotujícího tělesa. Vyvažování rotujících těles 352
Kapitola XXVIII. Princip možných posuvů a obecná rovnice dynamiky 357
§ 137. Klasifikace spojů 357
§ 138. Možné posuny soustavy. Počet stupňů volnosti. . 358
§ 139. Zásada možných pohybů 360
§ 140. Řešení problémů 362
§ 141. Obecná rovnice dynamická 367
Hlava XXIX. Podmínky rovnováhy a pohybové rovnice soustavy ve zobecněných souřadnicích 369
§ 142. Zobecněné souřadnice a zobecněné rychlosti. . . 369
§ 143. Generalizované síly 371
§ 144. Podmínky rovnováhy pro systém ve zobecněných souřadnicích 375
§ 145. Lagrangeovy rovnice 376
§ 146. Řešení problémů 379
Kapitola XXX*. Malé oscilace soustavy kolem polohy stabilní rovnováhy 387
§ 147. Pojem rovnovážné stability 387
§ 148. Malé volné vibrace soustavy s jedním stupněm volnosti 389
§ 149. Malé tlumené a nucené kmity soustavy s jedním stupněm volnosti 392
§ 150. Malé souhrnné kmity soustavy se dvěma stupni volnosti 394
Kapitola XXXI. Teorie elementárních dopadů 396
§ 151. Základní rovnice teorie nárazu 396
§ 152. Obecné věty teorie dopadu 397
§ 153. Faktor zotavení po nárazu 399
§ 154. Náraz tělesa na pevnou zábranu 400
§ 155. Přímý centrální náraz dvou těles (náraz koulí) 401
§ 156. Ztráta kinetické energie při nepružném nárazu dvou těles. Carnotova věta 403
§ 157*. Úder do rotujícího těla. Impact Center 405
Index 409

Obecné teorémy dynamiky soustavy těles. Věty o pohybu těžiště, o změně hybnosti, o změně hlavního momentu hybnosti, o změně kinetické energie. Principy d'Alemberta a možné posuny. Obecná rovnice dynamiky. Lagrangeovy rovnice.

Obsah

Práce, kterou vykonala síla, se rovná skalárnímu součinu vektorů sil a nekonečně malému posunutí bodu jeho aplikace:
,
tedy součin modulů vektorů F a ds a kosinus úhlu mezi nimi.

Práce vykonaná momentem síly, se rovná skalárnímu součinu vektorů momentu a infinitezimálního úhlu natočení:
.

d'Alembertův princip

Podstatou d'Alembertova principu je redukovat problémy dynamiky na problémy statiky. K tomu se předpokládá (nebo je to předem známo), že tělesa soustavy mají určitá (úhlová) zrychlení. Dále jsou zavedeny setrvačné síly a (nebo) momenty setrvačných sil, které jsou stejné velikosti a směru reciproční se silami a momenty sil, které by podle zákonů mechaniky vytvářely daná zrychlení nebo úhlová zrychlení.

Zvažte příklad. Těleso vykonává translační pohyb a působí na něj vnější síly. Dále předpokládáme, že tyto síly vytvářejí zrychlení těžiště soustavy. Podle věty o pohybu těžiště by těžiště tělesa mělo stejné zrychlení, kdyby na těleso působila síla. Dále představíme sílu setrvačnosti:
.
Poté je úkolem dynamiky:
.
;
.

Pro rotační pohyb postupujte obdobným způsobem. Nechme těleso rotovat kolem osy z a působí na něj vnější momenty sil M e zk. Předpokládáme, že tyto momenty vytvářejí úhlové zrychlení ε z . Dále zavedeme moment setrvačných sil M И = - J z ε z . Poté je úkolem dynamiky:
.
Promění se ve statickou úlohu:
;
.

Princip možných pohybů

Princip možných posunů se využívá k řešení problémů statiky. V některých úlohách dává kratší řešení než psaní rovnovážných rovnic. To platí zejména pro systémy se spojeními (například systémy těles spojených závity a bloky), které se skládají z mnoha těles

Princip možných pohybů.
Pro rovnováhu mechanické soustavy s ideálními vazbami je nutné a postačující, aby součet elementárních prací všech činných sil, které na ni působí pro případné posunutí soustavy, byl roven nule.

Možné přemístění systému- jedná se o malé posunutí, při kterém nedochází k přerušení spojení uložených v systému.

Perfektní spojení- to jsou vazby, které nefungují, když se systém pohybuje. Přesněji řečeno, součet práce provedené samotnými odkazy při pohybu systému je nulový.

Obecná rovnice dynamiky (d'Alembert - Lagrangeův princip)

d'Alembert-Lagrangeův princip je kombinací d'Alembertova principu s principem možných posunů. To znamená, že při řešení úlohy dynamiky zavedeme setrvačné síly a problém zredukujeme na problém statiky, který řešíme na principu možných posuvů.

d'Alembert-Lagrangeův princip.
Když se mechanický systém pohybuje s ideálními omezeními v každém časovém okamžiku, součet elementárních prací všech působících aktivních sil a všech setrvačných sil na jakékoli možné posunutí systému je roven nule:
.
Tato rovnice se nazývá obecná rovnice dynamiky.

Lagrangeovy rovnice

Zobecněné souřadnice q 1, q2, ..., qn je množina n hodnot, které jednoznačně určují polohu systému.

Počet zobecněných souřadnic n se shoduje s počtem stupňů volnosti systému.

Generalizované rychlosti jsou derivace zobecněných souřadnic s ohledem na čas t.

Generalizované síly Q 1, Q2, ..., Q n .
Uvažujme možné posunutí systému, ve kterém souřadnice q k obdrží posunutí δq k . Zbytek souřadnic zůstává nezměněn. Nechť δA k je práce vykonaná vnějšími silami při takovém posunutí. Pak
δA k = Q k δq k, nebo
.

Pokud se při případném posunutí soustavy změní všechny souřadnice, pak práce vykonaná vnějšími silami při takovém posunutí má tvar:
5A = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Potom jsou zobecněné síly parciálními derivacemi práce posunutí:
.

Pro potenciální síly s potenciálem Π,
.

Lagrangeovy rovnice jsou pohybové rovnice mechanického systému ve zobecněných souřadnicích:

Zde T je kinetická energie. Je funkcí zobecněných souřadnic, rychlostí a případně času. Proto je jeho parciální derivace také funkcí zobecněných souřadnic, rychlostí a času. Dále musíte vzít v úvahu, že souřadnice a rychlosti jsou funkcemi času. Proto, abyste našli derivaci celkového času, musíte použít pravidlo derivace komplexní funkce:
.

Reference:
S. M. Targ, Krátký kurz Teoretická mechanika, VOŠ, 2010.

Statika je obor teoretické mechaniky, který studuje podmínky rovnováhy pro hmotná tělesa při působení sil, stejně jako metody pro přeměnu sil na ekvivalentní systémy.

Pod stavem rovnováhy se ve statice rozumí stav, ve kterém jsou všechny části mechanického systému v klidu vzhledem k nějaké inerciální soustavě souřadnic. Jedním ze základních předmětů statiky jsou síly a body jejich působení.

Síla působící na hmotný bod s poloměrovým vektorem z jiných bodů je mírou vlivu ostatních bodů na uvažovaný bod, v důsledku čehož dostává zrychlení vůči inerciální vztažné soustavě. Hodnota síla se určuje podle vzorce:
,
kde m je hmotnost bodu – hodnota, která závisí na vlastnostech samotného bodu. Tento vzorec se nazývá druhý Newtonův zákon.

Aplikace statiky v dynamice

Důležitým rysem pohybových rovnic absolutně tuhého tělesa je, že síly mohou být převedeny na ekvivalentní systémy. Při takové transformaci si pohybové rovnice zachovají svůj tvar, ale soustavu sil působících na těleso lze přeměnit na jednodušší soustavu. Bod aplikace síly se tedy může pohybovat podél linie jejího působení; síly lze rozšířit podle pravidla rovnoběžníku; síly působící v jednom bodě lze nahradit jejich geometrickým součtem.

Příkladem takových transformací je gravitace. Působí na všechny body tuhého tělesa. Ale pohybový zákon tělesa se nezmění, pokud gravitační síla rozložená ve všech bodech bude nahrazena jediným vektorem působícím na těžiště tělesa.

Ukazuje se, že pokud k hlavní soustavě sil působících na těleso přidáme ekvivalentní soustavu, ve které jsou směry sil obrácené, pak bude těleso působením těchto soustav v rovnováze. Úloha určování ekvivalentních soustav sil se tak redukuje na problém rovnováhy, tedy na problém statiky.

Hlavní úkol statiky je stanovení zákonů pro přeměnu soustavy sil na rovnocenné soustavy. Metody statiky se tedy využívají nejen při studiu těles v rovnováze, ale i v dynamice tuhého tělesa, při transformaci sil do jednodušších ekvivalentních soustav.

Bodová statika materiálu

Uvažujme hmotný bod, který je v rovnováze. A nechť na něj působí n sil, k = 1, 2, ..., n.

Pokud je hmotný bod v rovnováze, pak je vektorový součet sil, které na něj působí, roven nule:
(1) .

V rovnováze je geometrický součet sil působících na bod nulový.

Geometrická interpretace. Pokud je začátek druhého vektoru umístěn na konec prvního vektoru a začátek třetího je umístěn na konec druhého vektoru, a pak tento proces pokračuje, pak konec posledního, n-tého vektoru bude být kombinován se začátkem prvního vektoru. To znamená, že dostaneme uzavřený geometrický obrazec, jehož délky stran se rovnají modulům vektorů. Pokud všechny vektory leží ve stejné rovině, pak dostaneme uzavřený mnohoúhelník.

Často je vhodné si vybrat pravoúhlý souřadnicový systém Oxyz. Potom se součty průmětů všech vektorů sil na souřadnicové osy rovnají nule:

Pokud zvolíte jakýkoli směr definovaný nějakým vektorem , pak se součet průmětů vektorů sil v tomto směru rovná nule:
.
Rovnici (1) skalárně vynásobíme vektorem:
.
Zde je skalární součin vektorů a .
Všimněte si, že projekce vektoru do směru vektoru je určena vzorcem:
.

Tuhá statika karoserie

Moment síly o bodu

Určení momentu síly

Moment síly, aplikovaný na tělo v bodě A vzhledem k pevnému středu O, se nazývá vektor rovný vektorovému součinu vektorů a:
(2) .

Geometrická interpretace

Moment síly je roven součinu síly F a ramene OH.

Nechť vektory a jsou umístěny v rovině obrázku. Podle vlastnosti křížového součinu je vektor kolmý k vektorům a , tedy kolmý k rovině obrázku. Jeho směr je určen správným šroubovým pravidlem. Na obrázku je momentový vektor nasměrován k nám. Absolutní hodnota okamžiku:
.
Od té doby
(3) .

Pomocí geometrie lze podat jinou interpretaci momentu síly. Chcete-li to provést, nakreslete přímku AH přes vektor síly . Ze středu O spustíme kolmici OH na tuto přímku. Délka této kolmice se nazývá rameno síly. Pak
(4) .
Protože jsou vzorce (3) a (4) ekvivalentní.

Tím pádem, absolutní hodnota momentu síly vzhledem ke středu O je součin síly na rameni tato síla vzhledem ke zvolenému středu O .

Při výpočtu momentu je často vhodné rozložit sílu na dvě složky:
,
kde . Síla prochází bodem O. Proto je jeho hybnost nulová. Pak
.
Absolutní hodnota okamžiku:
.

Složky momentu v pravoúhlých souřadnicích

Pokud zvolíme pravoúhlý souřadnicový systém Oxyz se středem v bodě O, pak moment síly bude mít následující složky:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Zde jsou souřadnice bodu A ve vybraném souřadnicovém systému:
.
Komponenty jsou hodnoty momentu síly kolem os, resp.

Vlastnosti momentu síly kolem středu

Moment kolem středu O ze síly procházející tímto středem je roven nule.

Pokud se bod působení síly posune po přímce procházející vektorem síly, pak se moment během takového pohybu nezmění.

Moment z vektorového součtu sil působících na jeden bod tělesa se rovná vektorovému součtu momentů z každé ze sil působících na stejný bod:
.

Totéž platí pro síly, jejichž vynášecí čáry se protínají v jednom bodě.

Pokud je vektorový součet sil nulový:
,
pak součet momentů z těchto sil nezávisí na poloze středu, vůči kterému se momenty počítají:
.

Mocenský pár

Mocenský pár- jsou to dvě síly, které jsou stejné v absolutní hodnotě a mají opačný směr, působící na různé body těla.

Dvojici sil charakterizuje okamžik, kdy se tvoří. Vzhledem k tomu, že vektorový součet sil obsažených ve dvojici je nulový, moment vytvořený dvojicí nezávisí na bodu, vůči kterému je moment vypočítán. Z hlediska statické rovnováhy je povaha sil ve dvojici irelevantní. Dvojice sil se používá k označení, že na těleso působí moment sil, který má určitou hodnotu.

Moment síly kolem dané osy

Často nastávají případy, kdy nepotřebujeme znát všechny složky momentu síly o vybraném bodě, ale potřebujeme znát pouze moment síly o vybrané ose.

Moment síly kolem osy procházející bodem O je průmět vektoru momentu síly kolem bodu O na směr osy.

Vlastnosti momentu síly kolem osy

Moment kolem osy od síly procházející touto osou je roven nule.

Moment kolem osy od síly rovnoběžné s touto osou je nulový.

Výpočet momentu síly kolem osy

Nechť na těleso v bodě A působí síla. Najděte moment této síly vzhledem k ose O′O′′.

Sestavme pravoúhlý souřadnicový systém. Ať se osa Oz shoduje s O′O′′ . Z bodu A klesáme kolmice OH na O′O′′ . Prostřednictvím bodů O a A vedeme osu Ox. Osu Oy nakreslíme kolmo na Ox a Oz. Sílu rozložíme na složky podél os souřadného systému:
.
Síla protíná osu O′O′′. Proto je jeho hybnost nulová. Síla je rovnoběžná s osou O′O′′. Proto je jeho moment také nulový. Podle vzorce (5.3) zjistíme:
.

Všimněte si, že složka je nasměrována tangenciálně ke kružnici, jejíž střed je bod O . Směr vektoru je určen správným šroubovým pravidlem.

Podmínky rovnováhy pro tuhé těleso

V rovnováze je vektorový součet všech sil působících na těleso roven nule a vektorový součet momentů těchto sil vzhledem k libovolnému pevnému středu je roven nule:
(6.1) ;
(6.2) .

Zdůrazňujeme, že střed O , vůči kterému se momenty sil počítají, lze zvolit libovolně. Bod O může buď patřit tělu, nebo být mimo něj. Obvykle se volí střed O pro usnadnění výpočtů.

Podmínky rovnováhy lze formulovat i jiným způsobem.

V rovnováze je součet průmětů sil v libovolném směru daný libovolným vektorem roven nule:
.
Součet momentů sil kolem libovolné osy O′O′′ je také roven nule:
.

Někdy jsou tyto podmínky výhodnější. Jsou chvíle, kdy lze výběrem os zjednodušit výpočty.

Těžiště těla

Zvažte jednu z nejdůležitějších sil – gravitaci. Síly zde nepůsobí v určitých bodech tělesa, ale jsou plynule rozloženy po jeho objemu. Pro každou část těla s nekonečně malým objemem ∆V, působí gravitační síla. Zde ρ je hustota hmoty tělesa, je zrychlení volného pádu.

Nechť je hmotnost nekonečně malé části těla. A nechť bod A k definuje polohu tohoto řezu. Najděte veličiny související s gravitační silou, které jsou obsaženy v rovnicích rovnováhy (6).

Najděte součet gravitačních sil tvořených všemi částmi těla:
,
kde je hmotnost těla. Součet tíhových sil jednotlivých nekonečně malých částí tělesa lze tedy nahradit jedním gravitačním vektorem celého tělesa:
.

Najděte součet momentů gravitačních sil vzhledem ke zvolenému středu O libovolným způsobem:

.
Zde jsme zavedli bod C, který se nazývá centrum gravitace tělo. Poloha těžiště v souřadnicovém systému se středem v bodě O je určena vzorcem:
(7) .

Takže při určování statické rovnováhy lze součet tíhových sil jednotlivých úseků tělesa nahradit výslednicí
,
aplikovaný na těžiště tělesa C , jehož poloha je určena vzorcem (7).

Polohu těžiště pro různé geometrické tvary lze nalézt v příslušných referenčních knihách. Pokud má těleso osu nebo rovinu symetrie, pak je těžiště umístěno na této ose nebo rovině. Takže těžiště koule, kruhu nebo kruhu jsou umístěna ve středech kruhů těchto obrazců. Těžiště pravoúhlého rovnoběžnostěnu, obdélníku nebo čtverce se také nacházejí v jejich středech - v průsečících úhlopříček.

Rovnoměrně (A) a lineárně (B) rozložené zatížení.

Existují i ​​případy podobné gravitační síle, kdy síly nepůsobí na určité body tělesa, ale jsou plynule rozloženy po jeho povrchu nebo objemu. Takové síly se nazývají rozložené síly nebo .

(Obrázek A). Také, stejně jako v případě gravitace, může být nahrazena výslednou silou o velikosti , působící v těžišti diagramu. Protože diagram na obrázku A je obdélník, těžiště diagramu je v jeho středu - bod C: | AC| = | CB |.

(obrázek B). Lze jej také nahradit výslednicí. Hodnota výslednice se rovná ploše diagramu:
.
Místo aplikace je v těžišti diagramu. Těžiště trojúhelníku, výška h, je ve vzdálenosti od základny. Proto .

Třecí síly

Kluzné tření. Nechte tělo na rovném povrchu. A nechť je síla kolmá k povrchu, kterou povrch působí na těleso (tlaková síla). Potom je kluzná třecí síla rovnoběžná s povrchem a směrovaná do strany, čímž brání tělesu v pohybu. Jeho největší hodnota je:
,
kde f je koeficient tření. Koeficient tření je bezrozměrná veličina.

valivé tření. Zakulacený korpus necháme válet nebo může válet po povrchu. A budiž tlaková síla kolmá k povrchu, kterou povrch působí na těleso. Poté na těleso v místě dotyku s povrchem působí moment třecích sil, které brání pohybu tělesa. Největší hodnota třecího momentu je:
,
kde δ je koeficient valivého tření. Má rozměr délky.

Reference:
S. M. Targ, Krátký kurz teoretické mechaniky, Vyšší škola, 2010.

Bodová kinematika.

1. Předmět teoretické mechaniky. Základní abstrakce.

Teoretická mechanika je věda, ve které se studují obecné zákony mechanického pohybu a mechanické interakce hmotných těles

Mechanický pohybnazýván pohyb tělesa ve vztahu k jinému tělesu, probíhající v prostoru a čase.

Mechanická interakce se nazývá taková interakce hmotných těles, která mění povahu jejich mechanického pohybu.

Statika - Jedná se o obor teoretické mechaniky, který studuje metody převodu silových soustav na ekvivalentní soustavy a stanovuje podmínky pro rovnováhu sil působících na pevné těleso.

Kinematika - je obor teoretické mechaniky, který se zabývá pohyb hmotných těles v prostoru z geometrického hlediska bez ohledu na síly, které na ně působí.

Dynamika - Jedná se o obor mechaniky, který studuje pohyb hmotných těles v prostoru v závislosti na silách, které na ně působí.

Předměty studia teoretické mechaniky:

hmotný bod,

systém hmotných bodů,

Absolutně tuhé tělo.

Absolutní prostor a absolutní čas jsou na sobě nezávislé. Absolutní prostor - trojrozměrný, homogenní, nehybný euklidovský prostor. Absolutní čas - plyne z minulosti do budoucnosti nepřetržitě, je homogenní, ve všech bodech prostoru stejný a nezávisí na pohybu hmoty.

2. Předmět kinematika.

kinematika - jedná se o obor mechaniky, který studuje geometrické vlastnosti pohybu těles bez zohlednění jejich setrvačnosti (tj. hmotnosti) a sil, které na ně působí.

Pro určení polohy pohybujícího se tělesa (nebo bodu) s tělesem, vůči němuž je pohyb tohoto tělesa studován, je pevně spojen nějaký souřadnicový systém, který spolu s tělesem tvoří referenční systém.

Hlavní úkol kinematiky je při znalosti zákona o pohybu daného tělesa (bodu) určit všechny kinematické veličiny, které charakterizují jeho pohyb (rychlost a zrychlení).

3. Metody pro specifikaci pohybu bodu

· přirozenou cestou

Mělo by být známo:

trajektorie pohybu bodu;

Začátek a směr počítání;

Zákon pohybu bodu po dané dráze ve tvaru (1.1)

· Souřadnicová metoda

Rovnice (1.2) jsou pohybové rovnice bodu M.

Rovnici pro trajektorii bodu M lze získat eliminací parametru času « t » z rovnic (1.2)

· Vektorový způsob

(1.3) Vztah mezi souřadnicovými a vektorovými metodami pro specifikaci pohybu bodu (1.4)

Spojení mezi souřadnicovými a přirozenými způsoby upřesnění pohybu bodu

Určete trajektorii bodu s vyloučením času z rovnic (1.2);

-- najděte zákon pohybu bodu po trajektorii (použijte výraz pro obloukový diferenciál)

Po integraci získáme zákon pohybu bodu po dané trajektorii:

Souvislost mezi souřadnicovou a vektorovou metodou zadání pohybu bodu je určena rovnicí (1.4)

4. Určení rychlosti bodu vektorovou metodou zadání pohybu.

Nechat v tuto chvílitpoloha bodu je určena vektorem poloměru a v okamžiku časut 1 – poloměr-vektor , pak po určitou dobu bod se posune.

(1.5) bodová průměrná rychlost, směr vektoru je stejný jako vektor

Rychlost bodu v daném čase

Pro získání rychlosti bodu v daném časovém okamžiku je nutné provést průjezd na limit

(1.6)

(1.7)

Rychlostní vektor bodu v daném čase je rovna první derivaci vektoru poloměru s ohledem na čas a směřuje tečně k trajektorii v daném bodě.

(jednotka¾ m/s, km/h)

Střední vektor zrychlení má stejný směr jako vektorΔ proti , to znamená, že směřuje ke konkávnosti trajektorie.

Vektor zrychlení bodu v daném čase je rovna první derivaci vektoru rychlosti nebo druhé derivaci vektoru poloměru bodu s ohledem na čas.

(jednotka - )

Jak je vektor umístěn ve vztahu k trajektorii bodu?

Při přímočarém pohybu je vektor veden podél přímky, po které se bod pohybuje. Pokud je trajektorií bodu plochá křivka, pak vektor zrychlení , stejně jako vektor cp, leží v rovině této křivky a směřuje k její konkávnosti. Pokud trajektorie není rovinná křivka, pak vektor cp bude směřovat ke konkávnosti trajektorie a bude ležet v rovině procházející tečnou k trajektorii v boděM a přímka rovnoběžná s tečnou v sousedním boděM 1 . V limit, kdy bodM 1 má sklony M tato rovina zaujímá polohu tzv. souvislé roviny. V obecném případě tedy vektor zrychlení leží v souvislé rovině a směřuje ke konkávnosti křivky.

Předmět pokrývá: kinematiku bodu a tuhého tělesa (a z různých úhlů pohledu je navrženo uvažovat problém orientace tuhého tělesa), klasické problémy dynamiky mechanických soustav a dynamiku tuhého tělesa, prvky nebeské mechaniky, pohyb soustav s proměnným složením, impaktní teorie, diferenciální rovnice analytické dynamiky.

Předmět představuje všechny tradiční úseky teoretické mechaniky, ale zvláštní pozornost je věnována těm nejsmysluplnějším a nejcennějším pro teorii a aplikace úsekům dynamiky a metod analytické mechaniky; statika je studována jako úsek dynamiky a v úseku kinematiky jsou podrobně představeny pojmy potřebné pro úsek dynamiky a matematický aparát.

Informační zdroje

Gantmakher F.R. Přednášky z analytické mechaniky. - 3. vyd. – M.: Fizmatlit, 2001.
Zhuravlev V.F. Základy teoretické mechaniky. - 2. vyd. - M.: Fizmatlit, 2001; 3. vyd. – M.: Fizmatlit, 2008.
Markeev A.P. Teoretická mechanika. - Moskva - Iževsk: Výzkumné centrum "Pravidelná a chaotická dynamika", 2007.

Požadavky

Předmět je určen pro studenty, kteří vlastní aparát analytické geometrie a lineární algebry v rámci prvního ročníku technické univerzity.

Program kurzu

1. Kinematika bodu
1.1. Problémy kinematiky. Kartézský souřadnicový systém. Rozklad vektoru na ortonormální bázi. Vektor poloměru a souřadnice bodu. Bodová rychlost a zrychlení. Trajektorie pohybu.
1.2. Přírodní trojúhelníkový. Expanze rychlosti a zrychlení v osách přirozeného trojstěnu (Huygensova věta).
1.3. Křivočaré souřadnice bodů, příklady: polární, válcové a sférické souřadnicové systémy. Složky rychlosti a průměty zrychlení na osy křivočarého souřadnicového systému.

2. Metody pro určení orientace tuhého tělesa
2.1. Pevný. Pevné a na tělo vázané souřadnicové systémy.
2.2. Ortogonální rotační matice a jejich vlastnosti. Eulerova věta o konečném obratu.
2.3. Aktivní a pasivní pohledy na ortogonální transformaci. Přidání zatáček.
2.4. Konečné úhly natočení: Eulerovy úhly a úhly "letadlo". Vyjádření ortogonální matice pomocí konečných úhlů natočení.

3. Prostorový pohyb tuhého tělesa
3.1. Translační a rotační pohyb tuhého tělesa. Úhlová rychlost a úhlové zrychlení.
3.2. Rozložení rychlostí (Eulerův vzorec) a zrychlení (Rivalův vzorec) bodů tuhého tělesa.
3.3. Kinematické invarianty. Kinematický šroub. Okamžitá šroubová osa.

4. Rovinně-paralelní pohyb
4.1. Pojem planparalelního pohybu tělesa. Úhlová rychlost a úhlové zrychlení v případě planparalelního pohybu. Okamžitý střed rychlosti.

5. Komplexní pohyb bodu a tuhého tělesa
5.1. Pevné a pohyblivé souřadnicové systémy. Absolutní, relativní a obrazný pohyb bodu.
5.2. Věta o sčítání rychlostí v případě komplexního pohybu bodu, relativní a obrazné rychlosti bodu. Coriolisova věta o sčítání zrychlení pro komplexní pohyb bodu, relativní, translační a Coriolisova zrychlení bodu.
5.3. Absolutní, relativní a přenosná úhlová rychlost a úhlové zrychlení tělesa.

6. Pohyb tuhého tělesa s pevným bodem (kvaternionové zobrazení)
6.1. Pojem komplexních a hyperkomplexních čísel. Algebra kvaternionů. Produkt Quaternion. Konjugovaný a inverzní kvaternion, norma a modul.
6.2. Trigonometrické zobrazení jednotky quaternion. Kvaternionová metoda určení rotace těla. Eulerova věta o konečném obratu.
6.3. Vztah mezi kvaternionovými složkami v různých bázích. Přidání zatáček. Rodrigues-Hamiltonovy parametry.

7. Práce na zkoušku

8. Základní pojmy dynamiky.
8.1 Hybnost, moment hybnosti (kinetický moment), kinetická energie.
8.2 Síla sil, práce sil, potenciální a celková energie.
8.3 Těžiště (střed setrvačnosti) soustavy. Moment setrvačnosti soustavy kolem osy.
8.4 Momenty setrvačnosti kolem rovnoběžných os; Huygens-Steinerův teorém.
8.5 Tenzor a elipsoid setrvačnosti. Hlavní osy setrvačnosti. Vlastnosti axiálních momentů setrvačnosti.
8.6 Výpočet momentu hybnosti a kinetické energie tělesa pomocí tenzoru setrvačnosti.

9. Základní teorémy dynamiky v inerciálních a neinerciálních vztažných soustavách.
9.1 Věta o změně hybnosti soustavy v inerciální vztažné soustavě. Věta o pohybu těžiště.
9.2 Věta o změně momentu hybnosti soustavy v inerciální vztažné soustavě.
9.3 Věta o změně kinetické energie soustavy v inerciální vztažné soustavě.
9.4 Potenciální, gyroskopické a disipativní síly.
9.5 Základní věty dynamiky v neinerciálních vztažných soustavách.

10. Pohyb tuhého tělesa s pevným bodem setrvačností.
10.1 Eulerovy dynamické rovnice.
10.2 Eulerův případ, první integrály dynamických rovnic; trvalé rotace.
10.3 Výklady Poinsota a Macculaga.
10.4 Pravidelná precese v případě dynamické symetrie těla.

11. Pohyb těžkého tuhého tělesa s pevným bodem.
11.1 Obecná formulace úlohy pohybu těžkého tuhého tělesa kolem.
pevný bod. Eulerovy dynamické rovnice a jejich první integrály.
11.2 Kvalitativní analýza pohybu tuhého tělesa v případě Lagrange.
11.3 Vynucená pravidelná precese dynamicky symetrického tuhého tělesa.
11.4 Základní vzorec gyroskopie.
11.5 Pojem elementární teorie gyroskopů.

12. Dynamika bodu v centrálním poli.
12.1 Binetova rovnice.
12.2 Orbitální rovnice. Keplerovy zákony.
12.3 Problém rozptylu.
12.4 Problém dvou těles. Pohybové rovnice. Plošný integrál, energetický integrál, Laplaceův integrál.

13. Dynamika soustav proměnného složení.
13.1 Základní pojmy a věty o změně základních dynamických veličin v systémech proměnného složení.
13.2 Pohyb hmotného bodu o proměnné hmotnosti.
13.3 Pohybové rovnice tělesa proměnného složení.

14. Teorie impulzivních pohybů.
14.1 Základní pojmy a axiomy teorie impulzivních pohybů.
14.2 Věty o změně základních dynamických veličin při impulzivním pohybu.
14.3 Impulzivní pohyb tuhého tělesa.
14.4 Srážka dvou tuhých těles.
14.5 Carnotovy věty.

15. Kontrolní práce

Výsledky učení

V důsledku zvládnutí disciplíny musí student:

• Vědět:
  • základní pojmy a věty z mechaniky a metody studia pohybu mechanických soustav z nich vyplývajících;
• Být schopný:
  • správně formulovat problémy z hlediska teoretické mechaniky;
  • vyvíjet mechanické a matematické modely, které adekvátně odrážejí hlavní vlastnosti uvažovaných jevů;
  • aplikovat získané znalosti k řešení relevantních konkrétních problémů;
• Vlastní:
  • dovednosti v řešení klasických problémů teoretické mechaniky a matematiky;
  • dovednosti studovat problémy mechaniky a stavět mechanické a matematické modely, které adekvátně popisují různé mechanické jevy;
  • dovednosti v praktickém využití metod a principů teoretické mechaniky při řešení úloh: výpočet síly, určování kinematických charakteristik těles s různými způsoby ustavení pohybu, určování zákona o pohybu hmotných těles a mechanických soustav při působení sil;
  • dovednosti samostatně zvládat nové informace v procesu výroby a vědecká činnost využívání moderních vzdělávacích a informačních technologií;